Grenzwert (Limes) der Funktion (e^x -1) / e^{x-1} bestimmen

Question

Grenzwert (Limes) der Funktion bestimmen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x}-1}{e^{x-1}}=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{e^{x}}{e^{x-1}}-\frac{1}{e^{x-1}}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(e-\frac{1}{e^{x-1}}\right)=e \)

Ich verstehe nicht, wie e^x / e^x-1  zu e wurde und zum Schluss da nur noch ein e steht.

Answer 1

Hi,

verwende die Potenzgesetze: a^{n}/a^m = a^{n-m}

Und somit: e^x/e^{x-1} = e^x-(x-1) = e^1 = e

 

Grüße

Comments

okay cool :)..gar nicht daran gedacht.

Aber dann steht ja e - 1/e^x-1  noch da und zum Schluß kommt = e raus.

Ist es so, weil, wenn ich für lim x-> unendlich einsetze bei 1/e^x-1, dass es sich auflöst, also 1/unendlich steht?

---

Genau. Und 1/unendlich geht gegen 0 (wenn wir mal Deine saloppe Formulierung übernehmen wollen). Übrig bleibt damit nur noch e ;).

---

Ja ist wirklich etwas schlampig formuliert..nächstes mal schreib ichs bessern ;)

Answer 2

aus der Sammlung von Potenzgesetzen (weit unten) hier: https://www.matheretter.de/wiki/potenzen

e^x / e^{x-1} = e^ (x-(x-1)) = e^{x-x+1} = e^1 = e

Answer 3

 

e^x/e^x-1 = e^x-(x-1) = e^x-x+1 = e¹ = e

Und am Schluss:

e - 1/e^x-1 nähert sich für x -> ∞ folgendem Wert:

e - 1/e^∞ = e - 0 = e

 

Nicht richtig schön formuliert, hilft aber hoffentlich trotzdem :-)

 

Besten Gruß