Kurvendiskussion wahr oder falsch

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit $$f(x)=\frac{x^2-3}{x^2-9}$$

Welche Aussage ist falsch?

Problem/Ansatz:

Der Definitionsbereich von f ist eingeschränkt, es gilt $$x \in \mathbb{R}, x \neq +-3$$ RICHTIG

Der Graph von f nähert sich an die Asymptote y=1 an FALSCH

Der Graph von f hat keine Nullstelle   FALSCH

Der Graph von f nähert sich an die Asymptote x=-3 an RICHTIG

Der Graph von f schneidet die y-Achse oberhalb der x-Achse RICHTIG (Schnittpunkt f(0)=1/3)

Wie bestimme ich denn die Asymptote?

Answer 1

Zur Asymptote:

\(\frac{x^2-3}{x^2-9}=\frac{x^2-9+6}{x^2-9}=1+\frac{6}{x^2-9}\to 1+0\) für \(|x|\to \infty\).

Answer 2

Hi,

a) die Aussage zur Asymptote ist wahr. Die Asymptote bestimmst Du, indem Du Dir das Verhalten der Funktion gegen unendlich anschaust. Hier kannst Du das direkt ablesen, denn Zählergrad = Nennergrad und damit sind die Vorfaktoren von den x² von Relevanz: 1/1 = 1.

Alternativ kannst Du auch mit x² kürzen und Dir dann den Bruch anschauen für x im Unendlichen. Da wären zwei Summanden zu vernachlässigen (da sie gegen 0 gehen) und wir sind wieder bei dem Fall von oben: 1/1 = 1

b) Nullstellen gibt es zwei: Den Zähler Null setzen ist Deine Aufgabe. Dann überprüfen, dass das nicht auch eine Nennernullstelle ist. Das sieht man hier leicht mit der dritten binomischen Formel.

c) Siehe a)

d) richtig

Grüße

Answer 3

Wie bestimme ich denn die Asymptote?

Polynomdivision

x^2-3 :(x^2-9) = 1+6/(x^2-9)

x^2-9

---------

6

Der Bruch liefert die Gleichung der Asymptoten: a(x) = 6/(x^2-9)

Comments

Die Gleichung der Asymptote ist wohl eher a(x) = 1. Der von Dir angesprochene Restterm wird ignoriert, da er gegen 0 geht. 1 hingegen bleibt 1.