$$ Sei \quad x = (x_{1},...,x_{n}) \in \mathbb{R} ^{n},k \in \mathbb{N},||x||_{p}:=(\sum \limits_{i=1}^{n}|x_{i}|^{p})^\frac{1}{p},k\in \mathbb{N} \quad und \quad g: \mathbb{R} ^{2} \rightarrow \mathbb{R} , \quad g (x_{1}, x_{2} ):= \frac{x_{1}x_{2}(x_{1} ^{2}-x_{2} ^{2})}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}, \quad (x_{1},x_{2})\neq(0,0) \quad und \quad g(x_{1},x_{2}):=0, \quad (x_{1}, x_{2})=(0,0). \text{ Außerdem sei } f: \mathbb{R} ^{m} \rightarrow \mathbb{R} ^{n} \text{ differenzierbar, und es seien } v,w \in \mathbb{R} ^{m} \quad sowie \quad α \in \mathbb{R}. \text{ Schließlich bezeichnet } e_{i} = (δ _{ij}) _{j=1} ^{m} \text{ ein Element der kanonischen Basis des } \mathbb{R} ^{m}. \text{ Sind diese beiden Aussagen nun wahr oder falsch? } a) \forall x \in \mathbb{R} ^{n} \ \text{ \ {0} }: \nabla ||x|| _{2}^{k} = k ||x||_{2}^{k-1} \cdot x \quad und \quad b) \forall x \in \mathbb{R} ^{n} \text{ \ {0} }: \nabla ||x|| _{3} ^{k} = k||x|| _{3} ^{k-3} \cdot (x_{1}^{2} ,..., x _{n}^{2}) $$
