Ebene Vektor Beweis. Wie geht man prinzipiell beim Beweisen von offensichtlichen Problemen vor?

Question

Text erkannt:

Aufgabe:

Zeigen Sie: Sind \( \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in \mathbb{R}^{3} \) drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, so gibt es genau eine Ebene \( E \subset \mathbb{R}^{3} \), die \( \vec{x}, \vec{y} \) und \( \vec{z} \) enthält. Diese Ebene ist gegeben durch
\( E=\{\vec{x}+s(\vec{x}-\vec{y})+t(\vec{x}-\vec{z}): s, t \in \mathbb{R}\} \)

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich prinzipiell verstehe, dass das so sein muss. Ich habe aber ein Problem Sachen, die ich an sich verstehe formal zu beweisen. Wenn jemand auf die Frage antwortet, bitte ich denjenigen, seinen Gedankenverlauf zu dokumentieren, damit ich studieren kann, wie man am besten an solche „Zeigen Sie“-Aufgaben rangeht. In der UNI ging mir der Teil ein bisschen zu schnell.(Wie man beim Beweisen vorgeht)

Comments

Eine ziemlich verschwurbelte Aufgabenformulierung:

Punkte mit Vektorpfeilen über den Bezeichnern ist ein Widerspruch in sich

und Probleme muß man nicht beweisen, die hat man oder auch nicht...

Answer 1

Vermutlich gibt es eine Definition des Begriffs "Ebene".
Du musst zeigen, dass diese durch
\( E=\{\vec{x}+s(\vec{x}-\vec{y})+t(\vec{x}-\vec{z}): s, t \in \mathbb{R}\} \)

erfüllt ist, und dass die drei Punkte
( \( \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in \mathbb{R}^{3} \) sind wohl derenOrtsvektoren )
in der Ebene liegen.
Und für "genau eine" musst du zeigen, dass jede andere Ebene,
die drei Punkte enthält die gleiche ist.

Comments

Ich habe darüber nachgedacht:

1. Idee: Nehmen wir an es gebe eine Ebene E₁  die ungleich der Ebene E ist dann dürfte E1 geschnitten E nicht 0 sein. Weil wenn es null wäre die Ebenen gleich wären. Aber ab hier komm ich nicht weiter.

2.Idee: Aus den Ortsvektoren einen Normalvektor ermitteln und aus der angenommenen/ermittelten einzigartigkeit/eindeutigkeit des Normalvektors die eindeutigkeit der Ebene implizieren.

3. Idee: Aus den Ortsvektoren die Parameterform ermitteln und dann durch umstellen zu der Oben genannten Ebenengleichung kommen.

---

1. Wenn zwei Ebenen im R^3 parallel sind sind sie nicht gleich aber der Schnitt ist die leere Menge. Überlege dir lieber wie der Schnitt von zwei Ebenen im R^3 aussieht deren Schnitt nicht leer ist und die nicht gleich sind.