Entscheide ob es sich für Peter lohnt und wie hoch die Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel einen Gewinn zu kriegen wäre

Question

Aufgabe:

Es gibt 4 Lose. 2 davon sind Gewinne und 2 davon Verluste. Peter sucht sich eines davon aus. Nachdem Peter sich eines ausgesucht hat, nimmt der Losmaster ein anderes Los und deckt es auf. Es ist ein Verlust. Nun fragt der Losmaster Peter, ob er sein Los mit einem anderen tauschen will.

Problem/Ansatz:

Ich denke es bleibt bei 50%, aber wenn ich ein Baumdiagramm machen, komme ich immer auf 75% Wahrscheinlichkeit bei einem Wechsel auf Gewinn zu kommen.

Comments

Es klingt nach diesem Problem:
https://studyflix.de/statistik/ziegenproblem-5317

Answer 1

Hallo,

75% ist richtig.

Falls er eine Niete gezogen hat (p=0,5), sind die anderen beiden Gewinne, also 0,5•1 bzw. 50% Gewinnchance.

Falls er einen Gewinn gezogen hat, sind die anderen beiden ein Gewinn und eine Niete, also 0,5•0,5=0,25=25%, die dazukommen.

50% + 25% = 75%

:-)

Comments

In der Aufgabe steht aber nicht, dass die Lose gekennzeichnet sind.

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In der Aufgabe steht aber nicht, dass die Lose gekennzeichnet sind.

In meiner Antwort auch nicht.

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Doch, hier :  (p=0,5)

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Bei 2 Nieten von 4 Losen insgesamt, dürfte die Wahrscheinlichkeit für eine Niete p=2/4=0,5 betragen, wenn ein Los gezogen wird.

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Peter weiß aber inzwischen, dass L eine Niete gezogen hat, er muss von einer bedingten Wahrscheinlichkeit, selbst eine Niete zu haben, ausgehen.

Der Aufgabentext sagt, dass L ein Los zieht (blind !), es aufdeckt und sich dieses dann als Niete herausstellt, also nicht wie M, der von den vorhandenen Nieten eine (nicht blind !) aufdeckt.

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Der Aufgabentext sagt, dass L ein Los zieht (blind !), es aufdeckt und sich dieses dann als Niete herausstellt, also nicht wie M, der von den vorhandenen Nieten eine (nicht blind !) aufdeckt.

Wer auch immer L und M sein mögen.

Falls du eine andere Lösung als ich habe, kannst du sie ja gerne posten. Ich verstehe den Sinn deiner Kommentare zu meiner Antwort aber in dieser kryptischen Form nicht.

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... ich rechne nochmal nach ...

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Wer auch immer L und M sein mögen

L ist der Losmaster aus der Aufgabenstellung, M ist Monty Hall.

Die hier relevante bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Peter einen Gewinn gezogen hat unter der Bedingung, dass L eine Niete gezogen hat beträgt 2/3.

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M ist Monty Hall.

Na gut.

Und nun?

@trancelocation

Das sehe ich anders. Durch das Entfernen der Niete ist das Gegenereignis ja verändert worden.

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Ich hab die Simulation mit permanentem Switchen durchlaufen lassen, und es ist immer noch 50%.

Was wir nicht beachten ist, dass man auch von einem Gewinn auf eine Niete switchen kann.

Hier ist die formale Begründung:
Zufallsgröße F (first) - wähle zufällig aus 1,2,3,4.

Dabei sei 1,2 ein Gewinn und 3,4 eine Niete.

Wir switchen jetzt immer. S (second) - zweiter Versuch. Ergebnis jeweils abhängig vom Ausgang von F.

Gesucht ist \(P(S\leq 2)\). Nun Bayes und totale Wahrscheinlichkeit:

$$P(S\leq 2) = \sum_{k=1}^4P(S\leq 2\,| F=k)P(F=k)$$

... und jetzt kommt das Switchen von einem Gewinn auf eine Niete zum tragen:

$$= \frac 14 \sum_{k=1}^4P(S\leq 2\,| F=k) = \frac 14 \left(2\cdot\frac 13 + 2\cdot \frac 23 \right) = \frac 12$$

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Ich bleibe bei meinen 75%.

Bei 100 angenommenen Durchführungen hätte der Kandidat als erstes Los im Idealfall 50 Mal eine Niete. Der Losmaster zieht die andere Niete. Peter entscheidet sich um und hat in allen 50 Fällen einen Gewinn.

In den anderen 50 Fällen hat Peter ein Gewinnlos gezogen. Der Master zieht seine Niete. Nun sind noch ein Gewinn und eine Niete vorhanden, also 25 Mal Gewinn und 25 Mal Niete.

Insgesamt also 75 von 100 Gewinne, d.h. 75%.

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@MontyPython
Stimmt.
Ich hab in meinem Modell nicht berücksichtigt, dass ja eine Niete rausfliegt.
Meine Güte. Auch mein Code hat das nicht getan. Drum hab ich immer 50% raus bekommen.
Auch in meiner Rechnung hab ich das nicht eingebaut. Blöd! :-D

Deine Argumentation ist komplett richtig.

p.s.: Du bist schon lange hier. Kann man Kommentare später noch ändern?

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Ich kann meine Kommentare bearbeiten bzw. ausblenden. Ob du das bei deinen kannst, weiß ich nicht.

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@MontyPython
Wahrscheinlich braucht man dazu mehr Punkte. Sowas ähnliche ist mir vor einigen Jahren auch auf math.stackexchange passiert.

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Deine Argumentation ist komplett richtig.

Das ist sie eben nur im Fall gekennzeichneter Lose (siehe meinen Kommentar oben).

Richtig ist vielmehr Folgendes :

Fall 1 : Peter zieht einen Gewinn : die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/2.
Fall 1a : L zieht danach ebenfalls einen Gewinn : die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1/3, diesen Fall brauchen wir aber nicht weiter zu verfolgen, denn laut Aufgabenstellung ist er nicht eingetreten, sondern es passierte
Fall 1b : L zieht danach eine Niete : die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 2/3.

Fall 2 : Peter zieht eine Niete : die Wahrscheinlichkeit dafür ist 1/2.
Fall 2a : L zieht danach einen Gewinn : die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 2/3, diesen Fall brauchen wir aber nicht weiter zu verfolgen, denn laut Aufgabenstellung ist er nicht eingetreten, sondern es passierte
Fall 2b : L zieht danach ebenfalls eine Niete : die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1/3.

Da von den beiden möglichen Fällen also Fall 1b eine doppelt so hohe Wahrscheinlichkeit wie Fall 2b hat, hat Fall 1 insgesamt eine doppelt so hohe Wahrscheinlichkeit wie Fall 2.
Peter hat also mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 einen Gewinn gezogen, im Lostopf ist dann noch ein Gewinn und eine Niete, wenn er wechselt ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit in diesem Fall 1/2. Peter hat dagegen mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 eine Niete gezogen, im Lostopf sind dann noch zwei Gewinne, wenn er wechselt ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit in diesem Fall 1. Insgesamt kommt er also auf eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3·1/2 + 1/3·1 = 2/3.

Ob Peter wechselt oder nicht ist gehupft wie gesprungen !

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Ich ergänze nochmal die Rechnung, wenn man die Entfernung der Niete berücksichtigt:

Also wie oben F, S und E - Entfernen einer Niete.

Dann haben wir$$P(S\leq 2|E) = \sum_{k=1}^4P(S\leq 2 | E,F=k)P(F=k)$$$$= \frac 14\sum_{k=1}^4P(S\leq 2 | E,F=k)$$$$= \frac 14 \left(2\cdot \frac 12 + 2 \cdot 1\right) = \frac 34$$

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Danke, dass ihr euch so viel Mühe gemacht habt. Dadurch hab ich das jetzt verstanden.