Beweise die Körpereigenschaften der Addition

Question

Aufgabe: Sei $$K:=\{(a,b) \in \mathbb{R^2}: a,b \in \mathbb{Q}\}$$

Wir definieren (a,b), (a',b') in K wie folgt

(a,b)+(a',b'):=(a+a', b+b')

(a,b)* (a',b'):= (aa'+2bb', ab'+ba')

Beweisen Sie die Körpereigenschaften der Addition für K.

Problem/Ansatz:

Ich versuche es mal mit der Abgeschlossenheit

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

Das stimmt doch nicht, das steht ja oben schon

Assoziativität

(a,b) + ((c,d) + (e,f))= ((a,b)+c,d))+ (e,f)

(a,b) + (c+e,d+f) = (a+c,b+d) + (e,f)

= (a+c+e, b+d+f) = (a+c+e, b+d+f)

Stimmt also.

Aber ich glaube hier fehlt noch was

Answer 1

\(K:=\{(a,b) \in \mathbb{R^2}: a,b \in \mathbb{Q}\}\)

Also mit anderen Worten \(K=\mathbb{Q}^2\).

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

Für Abgeschlossenheit, begründe warum a+c ∈ ℚ und b+d ∈ ℚ sind.

Sind nämlich a+c ∈ ℚ und b+d ∈ ℚ, dann ist (a+c, b+d) ∈ K.

(a,b) + ((c,d) + (e,f))= ((a,b)+c,d))+ (e,f)

Schreibe nicht das was du beweisen willst kommentarlos an den Anfang des Beweises.

(a,b) + (c+e,d+f) = (a+c,b+d) + (e,f)
= (a+c+e, b+d+f) = (a+c+e, b+d+f)

Ich habe keine Ahnung, was du hier gemacht hast.

Zu einem Beweis gehört mehr als eine Liste von Gleichungs- oder Termumformungen.

\(\begin{aligned} & \left(a,b\right)+\left(\left(c,d\right)+\left(e,f\right)\right)\\\text{Definition }+\text{ in }K\qquad= & \left(a,b\right)+\left(c+e,d+f\right)\\\text{Definition }+\text{ in }K\qquad= & \left(a+\left(c+e\right),b+\left(d+f\right)\right)\\\text{Assoziativgesetz in }\mathbb{Q}\qquad= & \left(\left(a+c\right)+e,\left(b+d\right)+f\right)\\\text{Definition }+\text{ in }K\qquad= & \left(\left(a+c\right),\left(b+d\right)\right)+\left(e,f\right)\\\text{Definition }+\text{ in }K\qquad= & \left(\left(a,b\right)+\left(c,d\right)\right)+\left(e,f\right)\end{aligned}\)

Comments

Lieber oswald, wie argumentiere ich denn, dass a+c in Q ist?

Vielen Dank für deine Korrektur bezüglich meiner Assoziativität. Das hilft mir sehr weiter. Ich werde in Zukunft auf die Gleichheitszeichen schreiben, was gilt.

---

Es ist \(a\in \mathbb{Q}\) und \(c\in \mathbb{Q}\) und \(\mathbb{Q}\) ist ein Körper, also abgeschlossen bezüglich der Addition.