Lineare Unabhängigkeit aus der Subtraktion, Addition der Vektoren folgern

Question

Aufgabe:

Sei V ein R-Vektorraum und vektor u , vektor v ∈ V seien linear unabhängig. Es sei
vektor x = u + v und y = u - v. Zeigen Sie, dass dann x, y linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Die Linearkombination des Vektors x und y müsste ja bei 0 liegen. Ich habe die Gleichung aufgestellt:

x1 * x + x2* y = 0

x1* (u + v) + x2* (u - v) = 0

Dann jeweils die Vektoren durch die Subtraktion bzw. Addition ersetzt. Ich weiß jetzt aber nicht weiter.

Answer 1

x1* (u + v) + x2* (u - v) = 0

<=> (x1+x2)*u + (x1-x2)*v = 0

Da u und v lin. unabh. sind, gilt

x1+x2 = 0 und x1-x2 = 0

                also x1=x2

2x1=0 ==>  x1=0 also auch x2 = 0.

Also sind u+v und u-v lin. unabh.