Lineare Unabhängigkeit von Vektoren; Wie interpretiert ihr diese Fragestellung?

Question

wir haben folgende Aufgabe bekommen, die mich etwas verwirrt. Vorweg sei gesagt, ich weiß, wie man die Lineare Unabhängigkeit mithilfe der Linearkombination und dem Nullvektor beweist. Nur empfinde ich die Fragestellung hier etwas seltsam und ich wollte nur gern mal hören, was ihr dazu sagt:

"Sei V ein K-Vektorraum.
( 1 ) Seien v_1 , v_2 , v_3 ∈ V linear unabhängig. Wir definieren die Vektoren
w_1 := v_1 + v_2 + v_3, w_2 := v_1 − v_2 − v_3, w_3 := 2*v_2 − v_3
Entscheiden Sie, ob die Vektoren w_1, w_2, w_3 linear unabhängig sind und beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Antwort."

Muss ich nun eine Linearkombination im "eindimensionalen" erstellen á la
 α_1*(v_1 + v_2 + v_3) + α_2*(v_1 − v_2 − v_3) + α_3*(2*v_2 − v_3) = 0
oder sollte ich das ganze besser als Matrix aufschreiben nach:
α_1*(1, 1, 1) + α_2*(1, -1, -1) + α_3*(0, 2, -1) = (0, 0, 0)
Und das mit dem Gauß oder so lösen?

Die eindimensionale Variante ergibt ja nur Unsinn, deswegen tippe ich auf letzteres. Aber ich wollte lieber nochmal sicher gehen. ;-)
Danke und lieben Gruß.

Answer 1

Dein erster Ansatz ist gut. Sortiere jetzt diesen Ausdruck nach den Vektoren v_1 bis v_3. Dann erhältst Du irgendwelche Summen der alphas, die ja null sein müssen, da die Vektoren linear unabhängig sind. Dieses Gleichungssystem musst du lösen.

Answer 2

So "eindimensional" ist das erste ja gar nicht

Muss ich nun eine Linearkombination im "eindimensionalen" erstellen á la
 α_1*(v_1 + v_2 + v_3) + α_2*(v_1 − v_2 − v_3) + α_3*(2*v_2 − v_3) = 0

a_1*v_1 +a_2*v_1 +    a_1*v_2 - a_2*v_2 + a_3*2v_2  etc.    dann die v's ausklammern

(a_1 + a_2) *v_1   +   ( a_1 - a_2 + 2a_3 ) * v2  +  ( ..............) * v_3 = 0-Vektor

Und weil die v's lin. unabh. sind, gelingt eine Lin. komb. des

Nullvektors nur , wenn die Klammern alle drei 0 sind.

Das gibt ein Gleichungssystem, für a_1   a_2     a_3   und wenn das nur die

Lösung 0  0   0   hat, zeigt ja dein Ansatz , dass die w's lin. unabh. sind.