Aloha :)
Aus der Vorlesung kennst du bestimmt: \(\quad \exp(x+y)=\exp(x)\cdot\exp(y)\).
Falls nicht, kannst du das mit Hilfe des Cauchy-Produktes \((\ast)\) schnell selbst herleiten:$$\exp(x+y)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\pink{(x+y)^n}}{n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\pink{\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}}$$$$\phantom{\exp(x+y)}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{\green{n!}}\sum\limits_{k=0}^n\frac{\green{n!}}{k!\cdot(n-k)!}\,x^ky^{n-k}=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!\cdot(n-k)!}\,x^ky^{n-k}$$$$\phantom{\exp(x+y)}=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k+\ell=n}\frac{1}{k!\cdot\ell!}\,x^ky^\ell\stackrel{(\ast)}{=}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\cdot\sum\limits_{\ell=0}^\infty\frac{y^\ell}{\ell!}$$$$\phantom{\exp(x+y)}=\exp(x)\cdot\exp(y)$$
Nun betrachten wir die Exponentialreihe und spalten den ersten Summanden ab:$$\exp(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=\frac{x^0}{0!}+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}$$Daraus lesen wir ab:$$\exp(0)=1\quad;\quad\exp(x)>1\,\text{für }x>0\quad;\quad\lim\limits_{x\to\infty}\exp(x)=\infty$$
Die Monotonie folgt nun mit \(h>0\):$$\exp(x+h)-\exp(x)=\exp(x)\cdot\exp(h)-\exp(h)=\exp(x)\cdot\underbrace{(\exp(h)-1)}_{>1}>\exp(x)$$Daher ist \(\exp(x)\) streng monoton wachsend.
Die Potenzreihe \(\exp(x)\) wächst ins Unendliche, aber nach unten ist sie beschränkt, denn:$$1=\exp(0)=\exp(x-x)=\exp(x)\cdot\exp(-x)\implies\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\implies$$$$\lim\limits_{x\to-\infty}\exp(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\exp(x)}\to\frac1\infty=0$$
Daher ist \(\exp(x)>0\) für alle \(x\in\mathbb R\).
