Monotonie und Beschränktheit beweisen

Question

Aufgabe:

(i) Gegeben sei die Exponentialfunktion exp : R → R. Beweisen Sie:

(a) Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend.
(b) Die Exponentialfunktion ist nach unten aber nicht nach oben beschränkt.

(ii) Seien $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$. Beweisen oder widerlegen Sie (mit einem Gegenbeispiel), dass Folgendes gilt:

(a) $f, g$ streng monoton fallend $\Longrightarrow f+g$ streng monoton fallend,
(b) $f, g$ monoton wachsend $\Longrightarrow f \cdot g$ monoton wachsend.

Problem/Ansatz:

Comments

Es gibt 80085 Möglichkeiten, die Exponentialfunktion zu definieren.

Gegeben sei die Exponentialfunktion exp : R → R. Beweisen Sie:

Der Beweis greift auf die Definition der Exponentialfunktion zurück.

(ii) Seien $f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Das hat offensichtlich nichts mehr mit der Exponentialfunktion zu tun. Mehre Fragen zum gleichen Sachverhalt darfst du hier zu einer Frage zusammenfassen. Unterschiedliche Sachverhalte solltest du aber auf mehrere Fragen aufteilen.

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vgl:

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/funktion/leit06.pdf

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Wie habt ihr denn "die" Exponentialfunktion defniert?

Von irgendwas müssen wir bei dem Beweis ja ausgehen.

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Wie habt ihr denn "die" Exponentialfunktion defniert?

exp(x) = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}$

Answer 1

Aloha :)

Aus der Vorlesung kennst du bestimmt: $\quad \exp(x+y)=\exp(x)\cdot\exp(y)$.

Falls nicht, kannst du das mit Hilfe des Cauchy-Produktes $(\ast)$ schnell selbst herleiten:$$\exp(x+y)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{\pink{(x+y)^n}}{n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\pink{\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}}$$$$\phantom{\exp(x+y)}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{\green{n!}}\sum\limits_{k=0}^n\frac{\green{n!}}{k!\cdot(n-k)!}\,x^ky^{n-k}=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!\cdot(n-k)!}\,x^ky^{n-k}$$$$\phantom{\exp(x+y)}=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k+\ell=n}\frac{1}{k!\cdot\ell!}\,x^ky^\ell\stackrel{(\ast)}{=}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\cdot\sum\limits_{\ell=0}^\infty\frac{y^\ell}{\ell!}$$$$\phantom{\exp(x+y)}=\exp(x)\cdot\exp(y)$$

Nun betrachten wir die Exponentialreihe und spalten den ersten Summanden ab:$$\exp(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=\frac{x^0}{0!}+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}$$Daraus lesen wir ab:$$\exp(0)=1\quad;\quad\exp(x)>1\,\text{für }x>0\quad;\quad\lim\limits_{x\to\infty}\exp(x)=\infty$$

Die Monotonie folgt nun mit $h>0$:$$\exp(x+h)-\exp(x)=\exp(x)\cdot\exp(h)-\exp(h)=\exp(x)\cdot\underbrace{(\exp(h)-1)}_{>1}>\exp(x)$$Daher ist $\exp(x)$ streng monoton wachsend.

Die Potenzreihe $\exp(x)$ wächst ins Unendliche, aber nach unten ist sie beschränkt, denn:$$1=\exp(0)=\exp(x-x)=\exp(x)\cdot\exp(-x)\implies\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\implies$$$$\lim\limits_{x\to-\infty}\exp(x)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\exp(x)}\to\frac1\infty=0$$

Daher ist $\exp(x)>0$ für alle $x\in\mathbb R$.