Aloha :)
Wir untersuche die Folge auf Monotonie und Beschränktheit:$$x_n=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n$$
1) Monotonie
In den bisherigen Antworten wurde vorgeschlagen \(\frac{x_{n+1}}{x_n}\ge1\) zu zeigen. Das ist allerdings gar nicht so einfach, wie du vermutlich beim Ausprobieren schon gemerkt hast.
Wir nutzen hier stattdessen den binomischen Lehrsatz:$$x_n=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\left(\frac{1}{n+1}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!}{k!\cdot(n-k)!}\cdot\frac{1}{(n+1)^k}$$$$\phantom{x_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{\overbrace{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots(n-k+1)}^{\text{k Faktoren}}}{k!}\cdot\left(\frac{1}{n+1}\right)^k$$$$\phantom{x_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n+1}\cdot\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-2}{n+1}\cdots\frac{n-k+1}{n+1}$$
Für zwei positive Zahlen \(a,b\in\mathbb R^+\) gilt stets:$$a\le b\stackrel{+ab}{\implies} ab+a \le ab+b\implies a(b+1)\le b(a+1)\implies\frac ab\le\frac{a+1}{b+1}$$Wir erhöhen daher in allen Brüchen, außer bei \(\frac{1}{k!}\), Zähler und Nenner jeweils um Eins und erhalten folgende Abschätzung:$$x_n\le\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{n}{n+2}\cdot\frac{n-1}{n+2}\cdots\frac{n-k+2}{n+2}$$$$\phantom{x_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{\overbrace{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)\cdots(n-k+2)}^{\text{k Faktoren}}}{k!}\cdot\frac{1}{(n+2)^k}$$$$\phantom{x_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(n+1)!}{k!\cdot(n+1-k)!}\cdot\frac{1}{(n+2)^k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n+1}{k}\cdot\frac{1}{(n+2)^n}$$$$\phantom{x_n}\pink<\sum\limits_{k=0}^{n\pink{+1}}\binom{n+1}{k}\cdot\frac{1}{(n+2)^k}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\cdot1^{n+1-k}\cdot\frac{1}{(n+2)^k}$$$$\phantom{x_n}=\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+1}=x_{n+1}$$
Die Folge \((x_n)\) ist also streng monoton wachsend.
2) Beschränktheit
Da wir nun wissen, dass \((x_n)\) streng monoton wächst, ist klar dass gilt:$$x_n\ge x_1=\left(1+\frac{1}{1+1}\right)^1=\frac32\quad\text{für alle }n\in\mathbb N$$
Für die weitere Abschätzung von \((x_n)\) greifen wir auf die Darstellung von oben nach Anwendung des binomischen Lehrsatzes zurück:
$$x_n\stackrel{(\text{s.o.})}{=}\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\underbrace{\frac{n}{n+1}}_{<1}\cdot\underbrace{\frac{n-1}{n+1}}_{<1}\cdot\underbrace{\frac{n-2}{n+1}}_{<1}\cdots\underbrace{\frac{n-k+1}{n+1}}_{<1}\pink<\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}$$$$\phantom{x_n}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}=\frac{1}{0!}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k!}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdots k}\le1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{1\cdot\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdots2}_{\text{(k-1) Zweien}}}$$$$\phantom{x_n}=1+\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2^{k-1}}=1+\sum\limits_{k=1\pink{-1}}^{n\pink{-1}}\frac{1}{2^{(k\pink{+1})-1}}=1+\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\frac12\right)^k$$$$\phantom{x_n}=1+\frac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12}<1+\frac{1}{1-\frac12}=3$$
Die Folge \((x_n)\) ist also durch \(3\) auch nach oben beschränkt.
