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Aufgabe H 19. Monotonie und Beschränktheit
Untersuchen Sie die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) jeweils auf Monotonie und Beschränktheit. Bestimmen Sie gegebenenfalls eine obere Schranke, eine untere Schranke bzw. beides.
(a) \( a_{n}=\frac{n+3}{2 n} \)
(c) \( a_{n}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{n} \)
(b) \( a_{n}=n \cos (\pi(n+1)) \)
(d) \( a_{n}=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi n}{2}\right) \).

Aufgabe:

Hallo, wie kann ich hier vorgehen? Vorallem bei b),c),d) bin ich mir sehr unsicher, wie ich das beweisen kann.

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Man könnte sich zum Beispiel die ersten zehn Folgenglieder plotten lassen und schauen, ob einem etwas auffällt.

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Aloha :)

Bei der (b) kannst du 2 Fälle betrachten:$$b_n=n\cos(\pi(n+1))=-n\cos(n\cdot\pi)=-n\cdot(-1)^n=\left\{\begin{array}{rl}n &\text{falls n ungerade}\\-n & \text{falls n gerade}\end{array}\right.$$Die Folge ist alternierend, also nicht monoton. Sie wächst für gerade \(n\) gegen \(-\infty\) und für ungerade \(n\) gegen \(+\infty\), also ist sie auch nicht beschränkt.

Bei der (c) liegen auch 2 Fälle vor:$$c_n=1+\left(-\frac34\right)^n=\left\{\begin{array}{rl}1+\left(\frac34\right)^n&\text{falls n gerade}\\[1ex]1-\left(\frac34\right)^n&\text{falls n ungerade}\end{array}\right.$$Die Folge \((c_n)\) ist nicht monoton, denn:$$a_1=\frac14=\frac{16}{64}\;;\;a_2=\frac{25}{16}=\frac{100}{64}\;;\;a_3=\frac{37}{64}\;;\;\implies a_1\pink<a_2\;\land\;a_2\pink>a_3$$Aber die Folge ist beschränkt, denn:$$1-\left(\frac34\right)^1\le c_n\le1+\left(\frac34\right)^2\implies\frac14\le c_n\le\frac{25}{16}$$

Bei der (d) haben wir sogar 3 Fälle:$$d_n=\cos\left(\frac\pi6\right)\sin\left(\frac{\pi n}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\sin\left(\frac n2\,\pi\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sqrt3}{2} & \text{falls }n=2k-1\text{ mit }k\in\mathbb N\\[1ex]0 & \text{falls }n=2k\phantom{+1}\text{ mit }k\in\mathbb N\\[1ex]-\frac{\sqrt3}{2} & \text{falls }n=2k+1\text{ mit }k\in\mathbb N\end{array}\right.$$

Die Folge ist also nicht monoton, aber beschränkt: \(-\frac{\sqrt3}{2}\le d_n\le\frac{\sqrt3}{2}\).

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Hallo, zunächst einmal vielen Dank. Das hat mir sehr weitergeholfen.

Bei der b) verstehe ich nur leider nicht, wie man die Kosinusfunktion als (-1)^n umschreiben kann. Gibt es hierfür ein bestimmtes Rechengesetz?

LG

Die Cosinus-Funktion ist \(2\pi\)-periodisch, d.h. du darfst zu einem Argument \(x\) beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Cosinus-Funktion ändert.

Betrachte damit \(\cos(n\cdot\pi)\) getrennt für ungerade und für gerade \(n\):$$-1=\cos(1\cdot\pi)=\cos(3\cdot\pi)=\cos(5\cdot\pi)=\cdots$$$$+1=\cos(2\cdot\pi)=\cos(4\cdot\pi)=\cos(6\cdot\pi)=\cdots$$

Für ungerade \(n\) erhalten wir immer \((-1)\) und für gerade \(n\) immer \((+1)\).

Das können wir in \((-1)^n\) zusammenfassen.

Alles klar, danke!

Wie würde sich das denn verhalten, wenn die gesamte trigonometrische Funktion mit n potenziert wird, sprich (cos(nπ))^n? Würde man hier ((-1)^n)^n zusammenfassen?

LG

Ja, \(((-1)^n)^n\) wäre korrekt.

Alles klar, weil bei einem anderen Beispiel habe ich die Folge n*(cos(3/2π(2n-4/3)))^n, was ich zu n*(cos(3πn-2π))^n und schließlich n*(cos(3πn))^n umgeformt habe. Kann ich hier die Folge zu -n((-1)^n)^n bzw. -n*(-1)^n * (-1)^n umschreiben oder gilt dieser „Trick“ nur bei der obigen Aufgabe?

Danke im Voraus

+1 Daumen

Bei c) kannst du ja auch bedenken:

\( \left(-\frac{3}{4}\right)^{n} \) gibt für n=1,2,3,4 etc

\( \left(-\frac{3}{4}\right) \),\( \left(\frac{9}{16}\right) \),\( \left(-\frac{27}{64}\right) \) etc.

also die Beträge nähern sich monoton fallend der 0 und die Vorzeichen

wechseln sich immer ab.

\( a_{n}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{n} \) bedeutet das doch, es pendelt um die 1

herum. Der kleinste Wert ist also \( \frac{1}{4} \) und der größte \( \frac{25}{16} \).

Da hättest du eine untere und eine obere Schranke.

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