Monotonie und Beschränktheit bestimmen

Question

Text erkannt:

Aufgabe H 19. Monotonie und Beschränktheit
Untersuchen Sie die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) jeweils auf Monotonie und Beschränktheit. Bestimmen Sie gegebenenfalls eine obere Schranke, eine untere Schranke bzw. beides.
(a) \( a_{n}=\frac{n+3}{2 n} \)
(c) \( a_{n}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{n} \)
(b) \( a_{n}=n \cos (\pi(n+1)) \)
(d) \( a_{n}=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi n}{2}\right) \).

Aufgabe:

Hallo, wie kann ich hier vorgehen? Vorallem bei b),c),d) bin ich mir sehr unsicher, wie ich das beweisen kann.

Comments

Man könnte sich zum Beispiel die ersten zehn Folgenglieder plotten lassen und schauen, ob einem etwas auffällt.

Answer 1

Aloha :)

Bei der (b) kannst du 2 Fälle betrachten:$$b_n=n\cos(\pi(n+1))=-n\cos(n\cdot\pi)=-n\cdot(-1)^n=\left\{\begin{array}{rl}n &\text{falls n ungerade}\\-n & \text{falls n gerade}\end{array}\right.$$Die Folge ist alternierend, also nicht monoton. Sie wächst für gerade \(n\) gegen \(-\infty\) und für ungerade \(n\) gegen \(+\infty\), also ist sie auch nicht beschränkt.

Bei der (c) liegen auch 2 Fälle vor:$$c_n=1+\left(-\frac34\right)^n=\left\{\begin{array}{rl}1+\left(\frac34\right)^n&\text{falls n gerade}\\[1ex]1-\left(\frac34\right)^n&\text{falls n ungerade}\end{array}\right.$$Die Folge \((c_n)\) ist nicht monoton, denn:$$a_1=\frac14=\frac{16}{64}\;;\;a_2=\frac{25}{16}=\frac{100}{64}\;;\;a_3=\frac{37}{64}\;;\;\implies a_1\pink<a_2\;\land\;a_2\pink>a_3$$Aber die Folge ist beschränkt, denn:$$1-\left(\frac34\right)^1\le c_n\le1+\left(\frac34\right)^2\implies\frac14\le c_n\le\frac{25}{16}$$

Bei der (d) haben wir sogar 3 Fälle:$$d_n=\cos\left(\frac\pi6\right)\sin\left(\frac{\pi n}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\sin\left(\frac n2\,\pi\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\sqrt3}{2} & \text{falls }n=2k-1\text{ mit }k\in\mathbb N\\[1ex]0 & \text{falls }n=2k\phantom{+1}\text{ mit }k\in\mathbb N\\[1ex]-\frac{\sqrt3}{2} & \text{falls }n=2k+1\text{ mit }k\in\mathbb N\end{array}\right.$$

Die Folge ist also nicht monoton, aber beschränkt: \(-\frac{\sqrt3}{2}\le d_n\le\frac{\sqrt3}{2}\).

Comments

Hallo, zunächst einmal vielen Dank. Das hat mir sehr weitergeholfen.

Bei der b) verstehe ich nur leider nicht, wie man die Kosinusfunktion als (-1)^n umschreiben kann. Gibt es hierfür ein bestimmtes Rechengesetz?

LG

---

Die Cosinus-Funktion ist \(2\pi\)-periodisch, d.h. du darfst zu einem Argument \(x\) beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Cosinus-Funktion ändert.

Betrachte damit \(\cos(n\cdot\pi)\) getrennt für ungerade und für gerade \(n\):$$-1=\cos(1\cdot\pi)=\cos(3\cdot\pi)=\cos(5\cdot\pi)=\cdots$$$$+1=\cos(2\cdot\pi)=\cos(4\cdot\pi)=\cos(6\cdot\pi)=\cdots$$

Für ungerade \(n\) erhalten wir immer \((-1)\) und für gerade \(n\) immer \((+1)\).

Das können wir in \((-1)^n\) zusammenfassen.

---

Alles klar, danke!

Wie würde sich das denn verhalten, wenn die gesamte trigonometrische Funktion mit n potenziert wird, sprich (cos(nπ))^n? Würde man hier ((-1)^n)^n zusammenfassen?

LG

---

Ja, \(((-1)^n)^n\) wäre korrekt.

---

Alles klar, weil bei einem anderen Beispiel habe ich die Folge n*(cos(3/2π(2n-4/3)))^n, was ich zu n*(cos(3πn-2π))^n und schließlich n*(cos(3πn))^n umgeformt habe. Kann ich hier die Folge zu -n((-1)^n)^n bzw. -n*(-1)^n * (-1)^n umschreiben oder gilt dieser „Trick“ nur bei der obigen Aufgabe?

Danke im Voraus

Answer 2

Bei c) kannst du ja auch bedenken:

\( \left(-\frac{3}{4}\right)^{n} \) gibt für n=1,2,3,4 etc

\( \left(-\frac{3}{4}\right) \),\( \left(\frac{9}{16}\right) \),\( \left(-\frac{27}{64}\right) \) etc.

also die Beträge nähern sich monoton fallend der 0 und die Vorzeichen

wechseln sich immer ab.

\( a_{n}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{n} \) bedeutet das doch, es pendelt um die 1

herum. Der kleinste Wert ist also \( \frac{1}{4} \) und der größte \( \frac{25}{16} \).

Da hättest du eine untere und eine obere Schranke.