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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Ich würde damit anfangen, eine Stammfunktion zu finden.
Dafür wird der Integrand umgeformt:$$f(x)=\frac{1}{x^2+ax+b}=\frac{1}{\left(x^2+ax+\frac{a^2}{4}\right)+b-\frac{a^2}{4}}=\frac{1}{\left(x+\frac a2\right)^2+\frac{4b-a^2}{4}}$$
Das sieht verdächtig nach der Arcustangens-Funktion aus, denn:$$\left(\arctan x\right)'=\frac{1}{1+x^2}$$Dekorieren wir das \(x\) noch mit der Verschiebung \(\frac a2\) und einer frei wählbaren Konstanten \(c\ne0\), folgt aus der Kettenregel:$$\left(\arctan\frac{x+\frac a2}{c}\right)'=\frac{1}{1+\left(\frac{x+\frac a2}{c}\right)^2}\cdot\frac 1c=\frac{c^2}{c^2+\left(x+\frac a2\right)^2}\cdot\frac 1c=\frac{c}{c^2+\left(x+\frac a2\right)^2}$$
Wir wählen \(\pink{c\coloneqq\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}}\), um den Integranden \(f(x)\) auf diese Form zu bringen:$$f(x)=\frac{1}{\left(x+\frac a2\right)^2+\pink{c^2}}=\frac{1}{\pink c}\cdot\frac{\pink c}{\left(x+\frac a2\right)^2+\pink{c^2}}$$
Damit haben wir die Stammfunktionen \(F(x)\) gefunden:$$F(x)=\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)+\text{const}$$
Wegen \(\lim\limits_{x\to\pm\frac\pi2}\tan(x)=\pm\infty\) ist \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\arctan(x)=\pm\frac\pi2\) und wir finden:$$\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)-\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{1}{\pink c}\arctan\left(\frac{x+\frac a2}{\pink c}\right)=\frac{\pi}{2\pink c}+\frac{\pi}{2\pink c}=\frac{\pi}{\pink c}$$
Wir setzen noch \(\pink{c=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}}\) ein und erhalten$$\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+ax+b}\,dx=\frac{\pi}{\pink{\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}}}=\frac{2\pi}{\sqrt{4b-a^2}}$$
