Aloha :)
Zur Bestimmung des Integrals von$$f(x)=\frac{2x^2+x+1}{(x+3)\cdot(x-1)^2}$$führen wir eine Partialbruchzerlegung durch:$$\pink{\frac{2x^2+x+1}{(x+3)\cdot(x-1)^2}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^2}}$$Hierbei ist wichtig, dass du für jede Potenz von \((x-1)\) einen eigenen Bruch ansetzt, daher die beiden Brüche mit \(B\) und \(C\) im Zähler.
Zur Berechnung der Koeffizienten in den Zählern der Partialbrüche multiplizieren wir die pinke Gleichung mit den jeweiligen Nennern und setzen den Wert für \(x\) ein, bei dem der Nenner verschwindet.
Wir machen das für \(A\) mal ganz ausführlich...
Im Nenner des \(A\)-Bruchs steht \(\green{(x+3)}\), also multiplizieren wir damit:$$\small\pink{\frac{2x^2+x+1}{(x+3)\cdot(x-1)^2}\cdot\green{(x+3)}=\frac{A}{x+3}\cdot\green{(x+3)}+\frac{B}{(x-1)}\cdot\green{(x+3)}+\frac{C}{(x-1)^2}}\cdot\green{(x+3)}$$$$\small\pink{\frac{2x^2+x+1}{\cancel{(x+3)}\cdot(x-1)^2}\cdot\cancel{\green{(x+3)}}=\frac{A}{\cancel{x+3}}\cdot\green{\cancel{(x+3)}}+\frac{B}{(x-1)}\cdot\green{(x+3)}+\frac{C}{(x-1)^2}}\cdot\green{(x+3)}$$$$\small\pink{\frac{2x^2+x+1}{(x-1)^2}=\pink A+\frac{B}{(x-1)}\cdot\green{(x+3)}+\frac{C}{(x-1)^2}}\cdot\green{(x+3)}$$
Nun setzen wir das \(x\) ein, bei dem \(\green{(x+3)}\) verschwindet, also \((x=-3)\).
Dadurch verschwinden die beiden übrig gebliebenen Brüche rechts und wir erhalten:$$A=\frac{2x^2+x+1}{(x-1)^2}\bigg|_{x=-3}=1$$
Das war jetzt recht ausführlich, damit du das Prinzip versteht. Die Berechnung von \(C\) funktioniet nach demselben Prinzip. Ich schreibe dafür nur die letzte Zeile hin (alles andere macht man im Kopf):$$C=\frac{2x^2+x+1}{(x+3)\cdot\cancel{(x-1)^2}}\bigg|_{x=1}=1$$
Wenn du \(B\) nach diesem Prinzip berechnen möchtest, wirst du feststellen, dass das nicht funktioniert, weil Im Nenner der \(B\)-Partialbruchs nur \((x-1)\) steht. Bei der Multiplikation der pinken Gleichung mit \((x-1)\) bleibt auf der linken Seite ein Faktor \((x-1)\) im Nenner stehen, sodass wir \(x=1\) nicht einsetzen können. Man könnte sagen, dass wir \((x=1)\) als mögliche Einsetzung bei der Berechnung von \(C\) verbraucht haben.
Aber wir kennen ja schon \(A=1\) und \(C=1\). Wir wählen einfach ein beliebiges \(x\), das wir bisher noch nicht eingestzt haben, und setzen es direkt in die pinke Gleichung ein. Weil wir faul sind, wählen wir \(x=0\):$$\frac{1}{3\cdot1}=\frac13+\frac{B}{-1}+\frac{1}{1}\implies B=\frac13-\frac13+1=1$$
Damit haben wir die Partialbruchzerlegung des Integranden gefunden:$$f(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}$$
Die Brüche sind alles Standardintegrale und die Stammfunktionen lauten:$$F(x)=\ln|x+3|+\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+\text{const}$$
