Das Produkt, fünf aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist durch 120 teilbar.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie: Das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist durch 120 teilbar

Hallo miteinander, ich könnte Hilfe bei dieser Aufgabe brauchen.

Problem/Ansatz:

Ich bin das Problem mittels Induktion angegangen. Für n=1 hab ich's, jetzt stecke ich gerade beim Induktions- Schritt (n+1).

Ich müsste noch irgendwie zeigen, dass (5n^4 + 50n^3 + 175n^2 + 250n + 120) durch 120 teilbar ist.

Hat hier jemand eine Idee, wie ich das zeigen könnte?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Es ist \(\displaystyle\binom{n+5}5=\frac{(n+1){\cdot}(n+2){\cdot}(n+3){\cdot}(n+4){\cdot}(n+5)}{1{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}4{\cdot}5}\).
Alle Binomialkoeffizienten sind bekanntlich ganzzahlig.

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sind bekanntlich ganzzahlig.

ist nicht so richtig beweißverwertbar.

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120=2•2•2•3•5

Beh. p(n)=n•(n+1)•(n+2)•(n+3)•(n+4)=120k

Enthält p(n) drei Zweien als Faktoren?

Einer der fünf Faktoren ist ein Vielfaches von 4, also 4m. Es gibt mindestens eine weitere gerade Zahl unter den fünfen, nämlich 4m+2 oder 4m-2. Also gibt es mindestens drei Zweien.

Außerdem ist mindestens eine der Zahlen durch 3 bzw. 5 teilbar, insgesamt also durch 120.

Answer 1

Induktion ist nicht die beste Idee.

Unter 5 aufeinanderfolgenden Zahlen befindet/befinden sich

-genau eine durch 5 teilbare Zahl

-mindestens eine durch 3 teilbare Zahl

-mindestens eine durch 4 teilbare Zahl und eine weitere gerade Zahl.

Comments

Ja das habe ich auch gedacht, aber ich keine Ahnung wie ich das beweisen soll außer mit einer Induktion.

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Den Satz, dass unter n aufeinanderfolgenden Zahlen genau eine durch n teilbar ist, behandle (und beweise) ich in Mathematik-Arbeitsgemeinschaften der Klasse 8

Nix Induktion..

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Ja hättest du dann eine Idee wie ich das hier formal aufschreiben kann?

Answer 2

Man könnte es auch so darstellen:

(n-2)(n-1)*n*(n+1)*(n+2)= 120k

n*(n^2-4)(n^2-1)= 120*k