Kettenregel von Funktionen zweier Variablen

Question

Aufgabe: Berechne durch Anwendung der Kettenregel von Funktionen zweier Variablen für          f (x, y) = e^{x^2}+e^{y^2}, p(t) = t, q(t) = t² die Ableitung von φ(t) = f(p(t), q(t)) in jedem Punkt t.

Answer 1

Da die Aufgabe wohl fordert, die Kettenregel für Funktionen mehrerer Variablen zu benutzen, ergänze ich mal diese Antwort.

$$\frac d{dt}\varphi(t) = \left.\operatorname{grad}f(x,y)\right|_{(x,y)=(p(t),q(t))}\cdot \frac d{dt}\begin{pmatrix} p(t) \\ q(t)\end{pmatrix}$$

$$= \left.\left(2xe^{x^2} \:\: 2ye^{y^2}\right)\right|_{(x,y)=(p(t),q(t))}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2t\end{pmatrix}$$

$$= 2te^{t^2}\cdot 1 + 2t^2e^{t^4}\cdot 2t = \boxed{2te^{t^2} + 4t^3e^{t^4}}$$

Answer 2

φ(t) = f(p(t), q(t)) = e^{t^2} + e^{(t^2)^2} = e^{t^4} + e^{t^2}

φ'(t) = 4·t^3·e^{t^4} + 2·t·e^{t^2}