Kettenregel (Analysis von Funktionen mit zwei Variablen)

Question

Aufgabe:

Ein Hersteller produziert ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B, wobei die Produktionsfunktion durch:

                                              q=(x,y)=200x^0.7*y^0.3

gegeben ist. Das bedeutet, dass beim Einsatz von Tonnen des Rohstoffes A und Tonnen des Rohstoffes B jeweils =(,) Einheiten des Endprodukts anfallen. Im Moment setzt der Hersteller pro Woche 20 Tonnen von A und 15 Tonnen von B ein. Allerdings sinkt die Zulieferung des Rohstoffes A pro Woche um 4 Prozent, während die zugelieferte Menge des Rohstoffes B um 3 Prozent steigt. Wie lautet die  relative Änderungsrate der Produktion als Funktion Zeit?

Problem/Ansatz:

Kann mir irgendjemand helfen? Ich weiß nicht wie der Anfang geht?

Als Lösung sollte -0,0197 rauskommen.

Answer 1

Ein Hersteller produziert ein Gut aus zwei Rohstoffen A und B, wobei die Produktionsfunktion durch:

                                              q=(x,y)=200x0.7*y0.3

gegeben ist. Das bedeutet, dass beim Einsatz von Tonnen des Rohstoffes A und Tonnen des Rohstoffes B jeweils =(,) Einheiten des Endprodukts anfallen. Im Moment setzt der Hersteller pro Woche 20 Tonnen von A und 15 Tonnen von B ein. Allerdings sinkt die Zulieferung des Rohstoffes A pro Woche um 4 Prozent, während die zugelieferte Menge des Rohstoffes B um 3 Prozent steigt.

Würde sich nichts ändern ist die Funktion                              q ( x,y ) = 200 * x^0.7 * y ^0.3
Mit einer Änderung
x => x * 1.04 ^t
y => y * 1.03 ^t
q ( x,y,t ) = 200 * ( x * 1.04 ^t) ^0.7 * (y * 1.03 ^t) ^0.3

Wie lautet die  relative Änderungsrate der Produktion als Funktion Zeit?
Änderungsrate : 1.Ableitung
q ( x,y,t ) = 200 * ( x * 1.04 ^t) ^0.7 * (y * 1.03 ^t) ^0.3

q ( x,y,t ) = 200
* x ^0.7  * 1.04 ^0.7*t
* y ^0.3  * 1.03 ^0.3*t

q  ( x,y,t ) = 200 * x^0.7 * y^0.3
* ( 1.04^0.7) ^t * (1.03^0.3) ^t

q  ( x,y,t ) = 200 * x^0.7 * y^0.3 * 1.075 ^t

q _t ´ ( x,y,t ) = 200 * x^0.7 * y^0.3 * t * 1.075 ^(t-1)

Ich weiß allerdings nicht was " relativ " bedeuten
soll. Dies wäre die " momentane " Änderungsrate.

Na. Hoffentlich stimmt das alles.

Comments

Muss es nicht 0,96 statt 1,04 heißen? Rohstoff A wird doch weniger.

Ich denke, hier muss man mit partiellen Ableitungen arbeiten.

Damit kenne ich mich aber nur bedingt aus. Irrtum vorbehalten!

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Hallo Andreas,
- Fehler 0.96. Stimmt. A sinkt.

Sonst meine ich aber die grundsätzlichen Gedanken
stimmen.
Aufbohren der Funktion q ( x,y ) mit der Zeit
zu q (x, y, t )

In der Frage hieß es :
Wie lautet die  relative Änderungsrate der
Produktion als Funktion der Zeit ?
Also ableiten nach t.

Wettermäßig : hier ist blauer Himmel
und bereits 27 ° ( 11:30 Uhr )
Mir gefällts.

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@Fragesteller
Fehlerkorrektur
mit 4 % Senkung wären meine Berechnungen
q _t ´ ( x,y,t ) = 200 * x^0.7 * y^0.3 * t * 0.9614 ^(t-1)

Als Lösung sollte -0,0197 rauskommen

Was das für ein Zahl ist weiß ich nicht.
Ist die Lösung etwas umfangreicher beschrieben ?
Falls möglich ein Foto einstellen.

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Mein Wissensartikel zu partiellen Ableitungen
2 dimensionaler Funktionen.
Partitielle Ableitungen dienen meist zur Auffindung
von Extrempunkten in beide Richtungen
Du stellst dir auf 30 mal 40 km eine Alpenlandschaft
vor.
Es gibt Berggipfel und Mulden als Hoch- und Tiefpunkte
Durch die Landschaft können sowohl in x- als auch in y-Richtung beliebig viele Höhenlinien gelegt werden.
Leg eine Höhenlinie in x-Richtung über einen Berggipfel
und eine Höhenlinie in y-Richtung über den Gipfel.
Der Berggipfel hat sowohl in x- als auch in y-Richtung
die Steigung null.

Bei der partiellen Ableitung nach x wird y der
Funktion als const. angenommen. Ich nehme einmal
zum Spaß die Funktion in der Frage

q (x,y) = 200 * x^0.7 * y^0.3
y = const
q _x ´ = 200 * 0.7 * x^(0.7-1)  * y^0.3
x const
q _y ´ = 200 * x^(0.7)  * 0.3 * y^(0.3-1)

Extrempunkt
q _x ´ = 0
200 * 0.7 * x^(0.7-1)  * y^0.3 = 0
x const
q _y ´ = 0
200 * x^(0.7)  * 0.3 * y^(0.3-1) = 0

Wie gesagt, ich weiß nicht ob sich die
Funktion eignet; vielleicht git es ja gar keinen
gemeinsamen Extrempunkt in beide Richtungen.

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Ja das Problem ist nur das ich nur die Lösung weiß aber nicht den Ansatz wie ich es ausrechnen soll.

Es gehört unter der Analysis von Fkt. mit 2 Variablen

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Ich kann dir nicht weiterhelfen.
Vielleicht kann ein anderer Antwortgeber
dir etwas sagen.