Beweisen Sie die folgenden Identitäten. Bsp. |exp (ix)| = 1 für alle x ∈ R.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Identitäten.

(a) exp (ix)* = exp (−ix) für alle  x ∈ R; (Hier geht es um das konjugiert Komplexe von exp (ix) auf der linken Seite)
(b) |exp (ix)| = 1 für alle x ∈ R.

Comments

Hallo

welche Definition von e^ix dürft ihr verwenden? mit e^ix= cos(x)+isin(x) ist es nur hinschreiben.

meinst du mit dem Stern das konjugierte der komplexen Zahl?, denn Abschlussmenge verstehe ich nicht.

Gruß lul

Answer 1

|exp (ix)| = 1 für alle x ∈ R

Vorbemerkungen:

(1) 

Dass \(\exp(\bar{x})=\overline{\exp(x)}\) gilt, folgt aus der Reihendarstellung von \(\exp(x)\).

(2) 

Es ist \(\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}\), da \(1=\exp(0)=\exp(x-x)\overset{(*)}=\exp(x)\exp(-x)\)

\((*)\) nach Funktionalgleichung (Ich vermute, dass ihr die gezeigt habt)

Beweis:

Es ist nach der Vorbemerkung \(\overline{ \exp(ix)}=\exp(-iz)\overset{(2)}=\frac{1}{\exp(ix)}\). Daher ist \(|\exp(ix)|^2=\exp(ix)\cdot \overline{\exp(ix)}=1\) \(\Box\)

Comments

Du hast den Stern auch als "konjugiert Komplexes" gelesen, vermute ich. Wenn ja: Bitte noch die Fragestellung berichtigen. Offenbar was das ja so gemeint.