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Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Identitäten.

(a) exp (ix)* = exp (−ix) für alle  x ∈ R; (Hier geht es um das konjugiert Komplexe von exp (ix) auf der linken Seite)
(b) |exp (ix)| = 1 für alle x ∈ R.

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Hallo

welche Definition von eix dürft ihr verwenden? mit eix= cos(x)+isin(x) ist es nur hinschreiben.

meinst du mit dem Stern das konjugierte der komplexen Zahl?, denn Abschlussmenge verstehe ich nicht.

Gruß lul

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|exp (ix)| = 1 für alle x ∈ R

Vorbemerkungen:

(1) 

Dass exp(xˉ)=exp(x)\exp(\bar{x})=\overline{\exp(x)} gilt, folgt aus der Reihendarstellung von exp(x)\exp(x).

(2) 

Es ist exp(x)=1exp(x)\exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}, da 1=exp(0)=exp(xx)=()exp(x)exp(x)1=\exp(0)=\exp(x-x)\overset{(*)}=\exp(x)\exp(-x)

()(*) nach Funktionalgleichung (Ich vermute, dass ihr die gezeigt habt)

Beweis:

Es ist nach der Vorbemerkung exp(ix)=exp(iz)=(2)1exp(ix)\overline{ \exp(ix)}=\exp(-iz)\overset{(2)}=\frac{1}{\exp(ix)}. Daher ist exp(ix)2=exp(ix)exp(ix)=1|\exp(ix)|^2=\exp(ix)\cdot \overline{\exp(ix)}=1 \Box

Avatar von 28 k

Du hast den Stern auch als "konjugiert Komplexes" gelesen, vermute ich. Wenn ja: Bitte noch die Fragestellung berichtigen. Offenbar was das ja so gemeint.

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