Sei (an)n∈ℕ eine Folge in ℂ, die gegen a∈ℂ konvergiert. Zeige: Die konjugierte Folge konvergiert gegen aQUER

Question

Sei (a_n)_n∈ℕ eine Folge in ℂ, die gegen a∈ℂ konvergiert. Zeigen Sie anhand der Definition von Konvergenz:

a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \bar{a}_{n}=\bar{a} \)

b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=|a| \)

Answer 1

Zu a)

Es gilt \( | a_n - a | \le \epsilon \) für jedes \( \epsilon > 0 \) und \( n \ge n_0 \)

Zu zeigen ist das gilt \( | \overline{a}_n - \overline{a} | < \epsilon \) für jedes \( \epsilon > 0 \) und \( n > n_1 \). Es gilt $$ | \overline{a}_n - \overline{a} | = | \overline{a_n - a} | = | a_n - a | \le \epsilon  $$ für \( n > n_0 \) Also kann man \( n_1 = n_0 \)  wählen

Zu a)

Zu zeigen ist \( | \ |a_n| - |a| \ | \le \epsilon \) für \( n > n_0 \) gilt.

Aus $$ | \ |a_n| - |a| \ | \le | a_n - a | \le \epsilon  $$ folgt die Behauptung