Sei (an)n∈ℕ eine Folge in ℂ, die gegen a∈ℂ konvergiert. Zeige: Die konjugierte Folge konvergiert gegen aQUER

Question

Sei (a_n)_n∈ℕ eine Folge in ℂ, die gegen a∈ℂ konvergiert. Zeigen Sie anhand der Definition von Konvergenz:

a) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \bar{a}_{n}=\bar{a}$

b) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|a_{n}\right|=|a|$

Answer 1

Zu a)

Es gilt $| a_n - a | \le \epsilon$ für jedes $\epsilon > 0$ und $n \ge n_0$

Zu zeigen ist das gilt $| \overline{a}_n - \overline{a} | < \epsilon$ für jedes $\epsilon > 0$ und $n > n_1$. Es gilt $$| \overline{a}_n - \overline{a} | = | \overline{a_n - a} | = | a_n - a | \le \epsilon$$ für $n > n_0$ Also kann man $n_1 = n_0$  wählen

Zu a)

Zu zeigen ist $| \ |a_n| - |a| \ | \le \epsilon$ für $n > n_0$ gilt.

Aus $$| \ |a_n| - |a| \ | \le | a_n - a | \le \epsilon$$ folgt die Behauptung