Untersuchen Sie, ob der Ring R^2x2 Nullteiler besitzt.

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob der Ring \( ( \mathbb R^{2 \times 2} , +, \cdot ) \) Nullteiler besitzt.
Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ob mein Ansatz viel zu umständlich ist bzw. überhaupt stimmt, aber ich würde jetzt so vorgehen dass ich untersuche ob der Ring ein Körper ist, was er ja wäre, wenn \( ( \mathbb R^{2 \times 2} , \cdot ) \) (ohne Nullmatrix) eine abelsche Gruppe ist, was ja Kommutativität heißt.

Da Matrizenmultiplikationen im Allgemeinen aber nicht kommutativ sind, kann der Ring kein Körper sein und somit keine Nullteiler haben.

Geht es noch leichter, sofern der Ansatz stimmt?

Danke!

Answer 1

Körper haben keine Nullteiler. Wenn du also weißt, dass K ein Körper ist, dann kannst du schlussfolgern, dass K keine Nullteiler hat.

Es gibt Ringe, die keine Körper sind, aber keine Nullteiler haben. Wenn du weißt, dass R kein Körper ist, dann kannst du erst ein mal garnichts über die Existenz von Nullteilern schlussfolgern. Außer dass es sich lohnt, mal konkrete Elemente von R daraufhin zu prüfen, ob sie Nullteiler sind.

\( ( \mathbb R^{2 \times 2} , +, \cdot ) \) ist kein Körper.

Answer 2

Wenn du glaubst, dass es Nullteiler in dem Ring der 2x2-Matrizen gibt,

dann experimentiere ein bisschen herum und suche

Nichtnull-Matrizen \(A,B\), deren Produkt die Nullmatrix ist.