Suche einen nicht nullteilerfreien Ring R und Polynome für die gelten soll:

Question

Aufgabe:

Ich benötige ein Beispiel für einen nicht nullteilerfreien Ring R und die Polynome p,q R[x],
sodass deg(p · q) < deg(p) + deg(q).

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass an sich immer gilt, dass deg(p · q) = deg(p) + deg(q).  (dies habe ich nämlich in der vorigen Aufgabe bewiesen)

Um meiner Verwirrung zu entfliehen, wollte ich also zunächst nach nicht nullteilerfreien Ringen suchen, die zu dem Beispiel passen, da mir selbst noch keine bekannt waren (wurden nicht in den Vorlesungen gezeigt, verbeispielt etc.).

Wäre sehr nett, wenn ihr mir etwas auf die Sprünge helfen würdet, würde es nämlich sehr gerne verstehen lernen.

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Silver :)

Comments

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/435804/grad-produkts-zweier-polynome-summe-grade-beiden-polynome.

Answer 1

Nicht nullteilerfreie Ringe sind z.B. die Restklassenringe mod n, wenn n keine Primzahl ist.

Also etwa  R = ℤ/6ℤ  .  Dort ist z.B.  2*3=6=0 .

Also auch  z.B.   2x^2 * ( 3x^2 + 1 ) =  0x^2 + 2x^2 = 2x^2

also das Produkt zweier Polynome vom Grad 2 hat nicht Grad 4 sondern nur 2.