Zeigen Sie: Ist R ein nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und gilt ∣R∣<∞, dann ist R ein Körper.

Question

Definition: Sei (R,+,⋅) ein kommutativer Ring mit Einselement. R heißt nullteilerfrei, wenn für alle a,b∈R aus a⋅b=0 stets a=0 oder b=0 folgt.

1. ) Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement

 Zeigen Sie: Ist R ein nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und gilt ∣R∣<∞, dann ist R ein Körper.

 ( Betrachten Sie zu a∈R∖{0} die Abbildung R→R, x↦ax )

2.) Gilt die Implikation aus (a) auch, wenn man die Bedingung ∣R∣<∞ weglässt ?

3.) Gilt die Implikation aus (a) auch, wenn man die Bedingung R ist nullteilerfrei weglässt?

Kann mir da jm weiterhelfen wie es beweisen soll ? In 1 müssten ja alle axiome eines

Körpers bewiesen werden und dies wären (R,+) ist eine abelsche Gruppe,

Ist 0 das neutrale Element von (K,+), so bildet (K \{0},·) =: K∗ eine abelsche Gruppe und Distrubutivgesetz a·(b+c) =a·b+a·c.

wie mach ich das ?

Comments

In 1 müssten ja alle axiome eines Körpers bewiesen werden ...

Ja? Die Ringaxiome kannst Du nicht beweisen, da gar kein konkreter Ring gegeben ist. Und selbst wenn. Da R schon als kommutativer Ring mit Eins (und sogar nullteilerfrei) gegeben ist, fehlt zum Nachweis, dass R sogar ein Koerper ist, nur noch die Existenz multiplikativer Inverser. Dazu hast Du einen Tipp: Betrachten Sie zu a∈R∖{0} die Abbildung R→R, x↦ax.

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also muss ich nur die Existenz des multiplikativen Inversen beweisen ? ich versteh nicht ganz

was | R| < ∣<∞ heißt ja eig R ist beschränkt nach oben bzw. kleiner als unendlich was soll

das für eine rolle spielen für R ist ein Körper ?

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| R| < ∞ heisst, dass R endlich viele Elemente hat. Deine Variante kommt gar nicht infrage, weil ein Ring im Allgemeinen gar nicht angeordnet ist.

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Wie soll ich denn mit der Abbildung anfangen?  ich komm nicht auf den Ansatz :/  soll man auf bijektiv, surjektiv überprüfen wenn ja was bringt mich das weiter?

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Bijektivitaet ist zu zeigen. Bringen tut das natuerlich die gesuchten Inversen.

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Dankeschön, habe ich hinbekommen :)