Ein kommutativer Ring heißt nullteilerfrei. Zeige: Körper sind nullteilerfrei.

Question

Es sei R ein kommutativer Ring. R heißt nullteilerfrei, wenn für alle \( a, b \in R \) gilt:

Aus \( ab = 0 \) folgt \( a=0 \) oder \( b=0 \)

Zeigen Sie:

a) Körper sind nullteilerfrei (Herleitung aus den Axiomen).

b) Es sei R ein nullteilerfreier kommutativer Ring. Dann ist auch der Ring der Polynome R[X] mit Koeffizienten aus R nullteilerfrei.

Answer 1

K ist Körper und a,b aus K mit a*b=0.

angenommen a ungleich Null, dann hat a ein multiplikatives Inverses a^{-1} (wegen Körper)
dann gilt 
  a^{-1} * a* b = 0   als o   1*b=0  also b=0
ist umgekehrt
b ungleich Null, dann folgt (mit b^{-1}  auch  a =0.

d.h: wenn einer von beiden ungleich null ist, dann ist der andere gleich null,
also keine nullteiler.

angenommen es gibt zwei polynome p*q=0 und beide sind nicht das nullpolynom.
dann hat jedes von ihnen einen höchsten koeffizienten, der nicht null ist.
sei a der höchste koeffizient von p und b der höchste von q dann ist
a*b der höchste koeffizient von p*q. 
 Da p*q das nullpolynom ist, ist   a*b=0 also ein produkt
zweier elem. des ringes, das null ergibt.
wegen nullteilerfreiheit muss einer null sein. Widerspruch!