Ist K ein Körper, so ist char(K) enweder Null oder eine Primzahl

Question

Beweis. Angenommen, char(K) = m = k*l ≠ 0 mit 1<k,l<m. Aus 0 = m*1 = (k*l)*1 = (k*1)(l*1) folgt wegen der Nullteilerfreiheit k*1 = 0 oder l*1 = 0 im Widerspruch zur Minimalität von m.

Was ich hier nicht verstehe ist die Nutzung der Nullteilefreiheit bzw. woher weißt man, dass es sich hier um einen Nullteilerfreien Körper handelt?

Und warum kann man nicht sagen, dass wenn wir 0 = m*1 haben und es sich um ein Koerper handelt, d.h. 1 ist neutrales Element, dann haben wir 0 = m und wir haben gesagt 0<m also Widerspruch?

Answer 1

Alle Körper sind nullteilerfrei, denn Nullteiler können nicht invertierbar sein: Angenommen a,b sind Körperelemente ungleich 0 mit ab=0 und invertierbar. Dann gilt: $$a=a\cdot 1 = a\cdot (b\cdot b^{-1})=(ab)b^{-1}=0\cdot b^{-1}=0 $$ was nicht sein kann. Das zweite funktioniert nicht, da mit 0=m*1 in dem Körper K gilt, damit also m und 1 Elemente von K sind. Für 0

Comments

Danke, der erste Teil ist klar, ich habe ihn sogar schon mal bewiesen.

Leider verstehe ich den zweiten Teil gar nicht, deshalb bitte ich Euch um eine detallierte Erklärung.