Definition: Sei (R,+,⋅) ein kommutativer Ring mit Einselement. R heißt nullteilerfrei, wenn für alle a,b∈R aus a⋅b=0 stets a=0 oder b=0 folgt.
1. ) Sei R ein kommutativer Ring mit Einselement
Zeigen Sie: Ist R ein nullteilerfreier Ring mit 1≠0 und gilt ∣R∣<∞, dann ist R ein Körper.
( Betrachten Sie zu a∈R∖{0} die Abbildung R→R, x↦ax )
2.) Gilt die Implikation aus (a) auch, wenn man die Bedingung ∣R∣<∞ weglässt ?
3.) Gilt die Implikation aus (a) auch, wenn man die Bedingung R ist nullteilerfrei weglässt?
Kann mir da jm weiterhelfen wie es beweisen soll ? In 1 müssten ja alle axiome eines
Körpers bewiesen werden und dies wären (R,+) ist eine abelsche Gruppe,
Ist 0 das neutrale Element von (K,+), so bildet (K \{0},·) =: K∗ eine abelsche Gruppe und Distrubutivgesetz a·(b+c) =a·b+a·c.
wie mach ich das ?