Question

Ein BoOLEscher Ring ist ein Ring \( R \) mit 1 , in dem \( a^{2}=a \) für alle \( a \in R \) gilt.

(1) Zeigen Sie, dass für alle \( a \in R \) gilt: \( a+a=0 \).

(2) Zeigen Sie, dass \( R \) kommutativ ist.

(3) Zeigen Sie, dass jedes Element von \( R \backslash\{1\} \) ein Nullteiler ist.

Answer 1

zu (1):

Sei \(x\in R\) \(\Rightarrow\) \(x+x\in R\) \(\Rightarrow\) \((x+x)\cdot(x+x)=x+x\) \(\Leftrightarrow\) \(x\cdot x+x\cdot x+x\cdot x+x\cdot x=x+x\) \(\Leftrightarrow\) \(x+x+x+x=x+x\) \(\Leftrightarrow\) \((x+x)+(x+x)-(x+x)=(x+x)-(x+x)\) \(\Leftrightarrow\) \(x+x=0\)

zu (2):

Seien \(x,y \in R\) \(\Rightarrow\) \(x+y\in R\) \(\Rightarrow\) \((x+y)\cdot (x+y)=x+y\) \(\Leftrightarrow\) \(x\cdot x+ x\cdot y + y\cdot x+ y\cdot y\) \(\Leftrightarrow\) \(x+xy+yx+y=x+y\) \(\Leftrightarrow\) \(x+xy+yx+y-(x+y)=(x+y)-(x+y)\) \(\Leftrightarrow\) \(x\cdot y +y \cdot x=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x\cdot y=-(y\cdot x)\) \(\overset{(1)}{\Leftrightarrow}\) \(x\cdot y=y\cdot x\)

zu (3):

Sei \(x\in R\) \(\Rightarrow\) \(x-1\in R\) und \(x\cdot (x-1)=x^{2}-x=0\) \(\Rightarrow\) \(x\) ist Nullteiler