Zeigen Sie, dass H ein Unterring von ℂ2×2 ist, dass also für alle A,B ∈ H auch A + B ∈ H und AB ∈ H gilt.

Question

Aufgabe:

Sei H = {\( \begin{pmatrix} w & z \\ -z' & w' \end{pmatrix} \): w, z ∈ ℂ} ⊆ ℂ^2×2.
a) Zeigen Sie, dass H ein Unterring von ℂ^2×2 ist, dass also für alle A,B ∈ H auch A + B ∈ H und AB ∈ H gilt.
b) Zeigen Sie, dass der Ring H nicht kommutativ ist.
c) Zeigen Sie, dass der Ring H nullteilerfrei ist. (Hinweis: Zeigen Sie, dass für jedes A ∈ H\ {0} auch A⁻¹ ∈ H gilt. Warum folgt daraus die Behauptung?)

Problem/Ansatz:

a) Ich hätte gesagt, dass \( \begin{pmatrix} w & z \\ -z' & w' \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b' & a' \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} w+a & z+b \\ -(z'+b') & w'+a' \end{pmatrix} \), und da das die selbst Form hat, ist es Element von H. Und genauso bei der Multiplikation. Kann ich das einfach so machen oder ist es komplizierter?

b) Ich habe keine Ahnung, warum H nicht kommutativ ist, weil wenn ich rechne \( \begin{pmatrix} w & z \\ -z' & w' \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b' & a' \end{pmatrix} \) kommt dasselbe raus wie bei \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b' & a' \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} w & z \\ -z' & w' \end{pmatrix} \). Könnte mir da jemand helfen?

c) Da bin ich mir sehr unsicher. Ich habe mir a,b,c,d ausgerechnet von \( \begin{pmatrix} w & z \\ -z' & w' \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Denn bekomme ich vier Gleichungen

wa+zc=1
-z'a+w'c=0
wb+zd=0
-z'b+w'd=1

Kann ich damit weitermachen oder geht das ganz anders?
Und warum folgt daraus, dass H nullteilerfrei ist?

Comments

Dieser Ring ist also ein nichkommutativer Körper (wird auch Schiefkörper genannt). Seine Elemente heißen Quaternionen. Er wurde von Hamilton entdeckt (daher die Bezeichnung H), als er vergeblich versuchte, analog zur Konstruktion der komplexen Zahlen aus Paaren reller Zahlen eine assoziative Multplikation von Tripeln zu finden.

Answer 1

Bei einem Gegenbeispiel zur kommutativität sollte man nicht das neutrale Element als Faktor probieren, das ist rechts- und linksneutral. Aber \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b' & a' \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)  hilft.

Schau dir mal die Determinante von \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b'& a' \end{pmatrix} \) an.

Comments

Danke für die Antwort!

Noch eine Frage: Mit der Determinante kann ich zeigen, dass A^-1 existiert, muss ich dann auch noch zeigen, dass es Element von H ist?

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Schau die doch die Inverse Matrix an, wenn du nicht "siehst", dass sie dieselbe Strukur hat, musst du eine Abschreibaufgabe erfüllen.