Wenn u ∈ R kein Nullteiler dann gilt, dass

Question

Sei R ein kommutativer Ring mit Einselelement 1. Wenn u ∈ R kein Nullteiler dann gilt, dass

- u ein Teiler von 1 ist

- ua = a für alle a ∈ R gilt,

- sich aus ua = ub für a,b ∈ R die Gleichheit a = b folgern lässt,

- u² = u ist.

Comments

Was ist deine Frage?

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man muss eine aus vier Optionen wählen

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Nimm doch mal als Bsp ℤ als R. 2 in ℤ ist kein nullteiler. Denn 2*x = 0 hat nur die Lösung x=0 (ℤ ist nullteilerfrei).

2 ist kein Teiler von 1 in ℤ, denn 1=2*x hat keine ganzzahlige Lösung

Ist 2*a = a für alle a in ℤ? Auch nein.

Ist 2² = 2? Auch Nein.

Die Optionen 1, 2 und 4 sind also schon einmal kompletter Käse.

Wenn eine richtig sein muss kann man also guten Gewissens Option 3 auswählen, ohne viel verstanden haben zu müssen. Man muss lediglich die Definitionen der Begriffe kennen und ein paar Beispiele parat haben.

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Es gilt sogar

u kein Nullteiler <=> u ist kürzbar

<= per Kontraposition

Ist u Nullteiler so existiert v≠0 mit u*v = 0

Es gilt aber auch u*0, also u*v = u*0. Aber eben v≠0 und somit ist u nicht kürzbar #

=> auch per Kontraposition

Ist u nicht kürzbar, dann existieren v≠w mit u*v = u*w aber dann ist u*(v-w)=0 also u ein Nullteiler (da v-w ≠0) ▢

Answer 1

Sei R ein kommutativer Ring mit Einselelement 1

Davon hast du schon in der Schulzeit drei kennengelernt.

Wenn u ∈ R kein Nullteiler

Keiner der dir aus deiner Schulzeit bekannten kommutativen Ringe mit Einselelement 1 haben Nullteiler.

Suche dir also einen dir aus der Schulzeit bekannten kommutativen Ringe mit Einselelement 1 aus.

- u ein Teiler von 1 ist
- ua = a für alle a ∈ R gilt,
- sich aus ua = ub für a,b ∈ R die Gleichheit a = b folgern lässt,
- u² = u ist.

Drei dieser Behauptungen gelten offensichtlich nicht für jedes u aus dem von dir ausgewählten Ring.