Zeigen Sie, dass [a] genau dann ein Nullteiler in Z/nZ ist, wenn ggT(a,n) ≠ 1 ist.

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N mit n ≥ 2.
Zeigen Sie, dass [a] genau dann einen Nullteiler in Z/nZ ist, wenn ggT(a,n) ≠ 1 ist.

Problem/Ansatz:

Zeigen soll ich also, dass

ggT(a,n) ≠ 1  =>  [a*b]_n = [0]_n

Da man jede Zahl in ihre Primfakktroren zerlegen kann, macht es ja Sinn, dass nur Z/nZ mit n ∈ Primzahlen nullteilerfrei sein können. Aber keine Ahnung, ich hänge hier komplett dran..

Answer 1

Da jedes Element entweder ein Nullteiler oder eine Einheit ist, zeigen wir dass

$a$ ist eine Einheit $\Longleftrightarrow \operatorname{gcd}(a, n)=1$

Mit dem Lemma von Bezout folgt
$\operatorname{gcd}(a, n)=1 \Longleftrightarrow \exists j, k \in \mathbb{Z}: j a+k n=1 \Longleftrightarrow \exists j \in \mathbb{Z}: j a \equiv_{n} 1$

Comments

Da jedes Element entweder ein Nullteiler oder eine Einheit ist

Hinweis an den Fragesteller: hier geht ein, dass Z/nZ endlich ist. Für allgemeine Ringe gilt das nicht.