Vektoren Unterbestimmtes LGS lösen

Question

ich soll diese Aufgabe lösen:Sind v1 , v2 , v3 , v4 linear unabhängig? Wenn nicht, geben Sie eine entsprechende Linearkombinationzur Darstellung der Null durch v1 , v2 , v3 , v4 an.
v₁ = (0,1,2)^T v₂ = (2,1,0)^Tv₃ = (1,2,0)^Tv₄ = (1,0,2)^TAlso zum ersten Teil: Ja sie sind linear abhängig, denn wenn mehr Vektoren als Dimensionen vorliegen sind diese immer linear abhängigbzw. es gilt dass bei n+1 Vektoren im Rⁿ lineare abhängigkeit exisitert.Zum 2 Teil weiß ich nicht wie ich vorgehen soll.Wenn ich mir die Gleichungen
0 = 2b + c + d0 = a + b +2c0 = 2a +2dherleite, weiß ich nichts damit anzufangen.Kann mir einer kurz verraten wie ich das löse und als v₁ v₂ v₃ v_{4 = 0 darstellen kann?}

Answer 1

[0, 2, 1, 1]
[1, 1, 2, 0]
[2, 0, 0, 2]

[0, 2, 1, 1]
[1, 1, 2, 0]
[3, -3, 0, 0]

a = a

3a - 3b = 0 --> b = a

a + a + 2c = 0 --> c = -a

2a - a + d = 0 --> d = -a

[0, 2, 1, 1; 1, 1, 2, 0; 2, 0, 0, 2]·[a; a; -a; -a] = [0; 0; 0] --> stimmt

Answer 2

oder in etwas übersichtlicherer Darstellung:

$$ \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}= \lambda \cdot \,  \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}+\mu \cdot \,  \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}+\nu \cdot \, \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}$$
---
$$ \begin{pmatrix} 0\\1\\2 \end{pmatrix}= (-1) \cdot \,  \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}+1 \cdot \,  \begin{pmatrix} 1\\2\\0 \end{pmatrix}+1 \cdot \, \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix}$$