Eigenschaften von Supremum und Infimum

Question

Aufgabe

Seien A und nicht leere beschränkte Teilmengen von ℝ und w∈ℝ.

Zu zeigen ist,

1. Wenn für alle a∈A gilt a≤w, dann ist sup A≤w

2. Wenn b≥w für alle b∈B gilt, dann ist inf B≥w

Comments

vgl:

https://mathepedia.de/Infimum_und_Supremum_Axiomensystem_Reelle_Zahlen.html

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@R : Sowas muss der Nachwelt doch erhalten bleiben !

Answer 1

Was soll man da zeigen? Das folgt direkt aus der Definition von Supremum und Infimum:

1. Offensichtlich ist \(w\) eine obere Schranke von \(A\). Das Supremum ist definiert als die kleinste obere Schranke. Also muss \(\sup A\leq w\) sein.

2. Analog ist hier \(w\) eine untere Schranke von \(B\). Das Infimum ist definiert als die größte untere Schranke. Also muss \(\inf B\geq w\) sein.