Wie beweist man das Infimum/ Supremum von m/(m+n)?

Question

Aufgabe:

Aufgabe
Man beweise das Minimum, Maximum, Infimum und Supremum der
Menge M≔{m/(m+n)I m,n ϵ N}.

Dabei gilt N ist größer als 0.

Problem/Ansatz:

Minimum und Maximum existieren nicht.

Infimum: 0 und Supremum: 1.

Mein Problem ist der Beweis vom Infimum und Supremum.

Comments

m/(m+n) = (m+n-n)/(m+n) = 1- n/(m+n)

Answer 1

Wegen \(0< \frac{m}{m+n}< 1\)

ist \(0\) eine untere, \(1\) eine obere Schranke von \(M\).

Sei \(0< \epsilon < 1\). Ich zeige, dass \(0+\epsilon=\epsilon\)

keine untere Schranke ist, also \(0\) die größte untere

Schranke von \(M\) ist:

Nach dem archimedischen Axiom gibt es eine nat. Zahl \(n>0\) mit

\(n>m\cdot \frac{1-\epsilon}{\epsilon}\). Hiermit folgt

\(\frac{m}{m+n}<\frac{m}{m+\frac{m(1-\epsilon)}{\epsilon}}=\epsilon\).

Entsprechend wähle \(n> m\cdot\frac{\epsilon}{1-\epsilon}\), um zu zeigen,

dass \(1-\epsilon\) keine obere Schranke von \(M\) ist,

\(1\) also die kleinste obere Schranke ist.