A sei die Menge {(-1)^m - 1/(4n) | m,n aus IN}. Bestimme das Infimum und Supremum mit beweisen!

Question

Gegeben sei die Menge A. Man denke sich die Mengenklammern, und m und n seien Elemente der natürlichen Zahlen.

$$A : = ( - 1 ) ^ { m } - \frac { 1 } { 4 n } \quad | m , n \in N$$

Answer 1

Wir sollen zu dem Term eine untere und obere Schranke finden

(-1)^m + (-1/(4n))

Der Term wird am größten wenn beide Summanden am größten sind.

(-1)^m ist 1 für gerade m und -1 für ungerade m. Damit ist 1 der höchste Wert.

Der negative Wert -1/(4n) wird am größten, wenn der Betrag sehr klein wird. Wenn wir für n gegen unendlich geht, geht der Summand gegen Null.

Damit ist 1 eine obere Schranke.

 

Der Term wird am kleinsten, wenn jeder Summand am kleinsten ist.

(-1)^m ist für ungerade m -1 und somit am kleinsten.

-1/(4*n) ist für n = 1 am kleinsten (-1/4)

Damit haben wir für die untere Schranke -1 + - 1/4 = -5/4

Comments

vielen dank schonmal! aber das geht doch als beweis nicht durch! wir haben ja einfach nur empirisch die werte eingesetzt! wie können wir wissen dass es die kleinste obere schranke und größte untere schranke sind?

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Bei (-1)^m können nur zwei Werte rauskommen. ich hoffe das muss man nicht beweisen.

Das -1/(4*n) streng monoton steigend ist kann man an der Ableitung zeigen. Die Ableitung wäre 1/(4·n^2). Damit ist die Steigung für positive n immer positiv. D.h. den kleinsten Wert erhält man für n = 1 und den größten für n gegen unendlich. 

Man weiß aber bei Brüchen mit gleichem Zähler, dass wenn ich den Nenner erhöhe, der Wert eines Bruches kleiner wird. Ich würde sagen, dass man das selber nicht mehr beweisen muss, weil es offensichtlich ist. Aber notfalls gelingt der Beweis über die Ableitung.