Integral, partielle integration

Question

Aufgabe:

wie komme ich mithilfe der partiellen Integration auf 1/4 e^x² bei der Funktion 0,5x*e^x².

Danke

Answer 1

Die Funktion soll wohl so aussehen:

\(f(x)= \frac 12 x e^{x^2}\)

Das ist kein Fall für partielle Integration, sondern für Substitution.

\(\frac 12 \int x e^{x^2}\, dx =\frac 14 \int (2x) e^{x^2}\, dx \stackrel{u(x) = x^2}{=}\frac 14 \int e^u\, du = \ldots \)

\( \ldots =\frac 14 e^u + C = \frac 14 e^{x^2} + C \)

Möglicherweise wolltest du versuchen, per partieller Integration das Integral \(\int e^{x^2}\, dx\) zu bekommen. Das Problem ist nur, dass diese Stammfunktion keine sogenannte elementare Funktion ist.

Comments

Woher weiß ich hier, dass ich anstatt der partiellen Integration die Substration verwenden muss.

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Hast du den zweiten Teil der Lösung gelesen?

Du kannst das zunächst nicht wissen. Wenn du aber mit partieller Integration anfängst, wirst du auf das oben erwähnte Integral stoßen.

Jetzt kannst du 10 Jahre lang probieren, das zu integrieren oder fängst an, im Internet danach zu suchen (oder fragst z. Bsp. einen Mathematiker).

Spätestens dann wirst du wissen, dass hier partielle Integration nicht funktioniert.

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Woher weiß ich hier, dass ich anstatt der partiellen Integration die Substration verwenden muss.

Die ist hier unnötig. Auf diesen Spatz muss man nicht mit Kanonen schießen.

Du musst nur die Regeln der Ableitung von e-Funktionen kennen und geschickt

anwenden. siehe meine Antwort.

Leider geht es nicht oft so einfach.

Answer 2

Hier zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

Es genügt die Ableitung zu betrachten:

f(x)= e^(x^2) -> f'(x) = 2x*e^(x^2)

Die 2 verschwindet, wenn man mit 1/2 multipliziert beim Integrieren.

0,5/2 = (1/2)/2 = 1/4.

Answer 3

Aloha :)

Gesucht ist das folgende Integral:$$I=\int\frac12x\cdot e^{\pink{x^2}}\,dx=\frac14\int\green{2x}\cdot e^{\pink{x^2}}\,dx$$

Durch das Umschreiben der Funktion hinter dem Gleichheitszeichen ist die Integration eigentlich schon passiert...

Die innere Funktion \(\pink{x^2}\) der \(e\)-Funktion hat die Ableitung \(\green{2x}\). Wenn die Ableitung einer inneren Funktion als Faktor in einem Integranden auftacht, solltest du immer zuerst an Integration durch Substitution denken.

Substituiert wird die innere Funktion:$$u\coloneqq\pink{x^2}\implies\frac{du}{dx}=\green{2x}\implies dx=\frac{du}{\green{2x}}$$

Nach Einsetzen wirst du feststellen, dass sich die innere Ableitung \(\green{2x}\) wegkürzt:$$I=\frac14\int\green{2x}\cdot e^u\,\frac{du}{\green{2x}}=\frac14\int e^u\,du=\frac14\,e^u+\text{const}=\frac14\,e^{\pink{x^2}}+\text{const}$$