Doppelte partielle Integration, unbestimmtes Integral, mit zwei trigometrischen Funktionen.

Question

Aufgabe:

\( \int\limits \) cos(x)*f(a+bsin(x))dx

Problem/Ansatz:

Ich führte eine doppelte partielle Integration durch, da setzte ich in der erste Integration:

u(x)= cos(x) und v(x)= ax + bcos(x),

und in der zweite:

u(x)= - sin(x) und v(x)= ax²/2 - bsin(x)

Ich kenne das Problem mit der unendliche Schleife, bekomme aber nach der dp Integration raus:

\( \int\limits \) cos(x)*f(a+b(x) = cos(x)*(ax-bcos(x)) + sin(x) * (ax²/2 - bcos(x)) - [\( \int\limits \) -cos(x) * (ax²/2 - bsin(x))]

Normalerweise könnte ich jetzt die Integralhälfte auf beide seiten addieren und ich hätte was nettes. Hab ich hier was übersehen oder falsch gerechnet? Ich weiß nicht wie ich fortgehen sollte.

Vielen Dank.

Comments

Hallo

was bedeutet das f(a+bsin(x)) ist das gar kein f?

Und zeige bitte deinen ersten Schritt!

lul

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https://www.integralrechner.de/

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Laut Angabe: Es sei f eine stetige reelle Funktion und F eine Stammfunktion von f . Im Lichte der vorigen Aufgabe stelle man praktische Formeln auf zur Berechnung von:

\( \int\limits \) (cos x) · f (a + b sin x) dx

Also f als funktion von (a+bsin(x)). Oder hab ich das falsch interpretiert?

Ansatz:

\( \int\limits \) cos(x)*f(a+bsin(x))dx

u(x)=cosx, u'(x)= -sinx

v'(x)= a+bsinx, v(x)= ax-bcosx

I_1:

= [cosx * ax-bcosx] - \( \int\limits \)-sinx * ax-bcosx

\( \int\limits \)-sinx * ax-bcosx

u(x)= -sinx, u'(x)= -cosx
v'(x)= ax-bcosx, v(x)= ax²/2 - bsinx

I₂:

= [-sinx * ax²/2 - bsinx] - \( \int\limits \)-cosx * ax²/2 - bsinx

Dann in die originale funktion einsetzen, ich bekomme raus:

\( \int\limits \) cos(x)*f(a+b(x) = cos(x)*(ax-bcos(x)) + sin(x) * (ax²/2 - bcos(x)) - [\( \int\limits \) -cos(x) * (ax²/2 - bsin(x))] 

Hier weiß ich eben nicht, wie ich weiterkommen sollte. Laut wolfram sollte das Ergebnis lauten:

-(1/2)bcos[x]^2 + aSin[x]

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Hallo

v'(x)= f(a+bsinx) v=F(a+bsin(x)

besser a+bsin(x)=u  du=cos(x)dx statt partieller integration

lul

Answer 1

Nach welcher Regel gehst Du denn vor? Gleich beim ersten Schritt lässt Du das f unter den Tisch fallen, das ist doch nicht Sinn der Aufgabe.

Substituiere einen in Auge springenden Term und das Ergebnis steht fast sofort da. Mit etwas Übung (d.h. Beherrschen der Kettenregel) kann man die Stammfunktion auch gleich hinschreiben, ohne große Anwendung von Regeln.

Comments

Ich glaube ich verstehe dann die Aufgabestellung nicht. Tut mir Leid, Integrale sind mir recht neu.

Was wird gemeint mit \( \int\limits \) (cos x) · f (a + b sin x) dx? Also wie kann man sich das erkären/vorstellen? Integriert man cos(x) und multipliziert man diese mit der funktion f(a+bsin(x))?

Allerdings möchte unser Lektor nicht, dass wir mit Substituieren arbeiten. In der vorigen Aufgabe müssten wir durch gezieltes Erraten die unbestimmte Integrale lösen, diese Aufgabe sollte eine Ergänzung dazu sein.

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Ok, ist nachvollziehbar, was Dein Lektor sagt. Dann greift mein letzter Satz ab. Insb. integriere NICHT, sondern errate gezielt. Geht ja auch nicht anders, da man f nicht kennt, aber (Wink mit dem Zaunpfahl!) man kennt ja F. Leite also mal irgendwas in der Art ab und probiere herum.

Answer 2

Aloha :)

Ich würde hier die Substitutionsmethode empfehlen, denn es gilt doch:$$\frac{d(\sin x)}{dx}=\cos x\implies \pink{d(\sin x)=\cos x\,dx}$$Damit wird das Integral zu$$I=\int\pink{\cos x}\cdot f(a+b\sin x)\,\pink{dx}=\int f(a+b\sin x)\,\pink{d(\sin x)}=\frac1b\,F(a+b\sin x)+C$$

Darin ist \(F\) eine Stammfunktion zu \(f\) und \(C\) eine Integrationskonstante.

Zur Probe kannst du auf die Lösung die Kettenregel anwenden:$$\left(\frac1b\,F(a+b\sin x)+C\right)'=\underbrace{\frac1b\, F'(a+b\sin x)}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{b\cos x}_{\text{innere Abl.}}=f(a+b\sin x)\cdot\cos x$$

Comments

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Doch, aber alles viel zu kompliziert erklärt.

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Wirklich? Der Frager hat erklärt, dass diese Lösung gerade nicht gefragt ist. Thema verfehlt.