Nächster Schritt der Partiellen Integration/Zusammenfassen einer Funktionsgleichung

Question

Aufgabe:

Ich habe keine Konkrete Aufgabe, ich wollte einfach nur diesen Schritt hier erklärt haben, da ich den seit 1 Stunde versuche nachzuvollziehen, ohne erfolg...

Text erkannt:

\( =\mathrm{e}^{x} \sin (x)-\left(\mathrm{e}^{x} \cos (x)+\int \mathrm{e}^{x} \sin (x) \mathrm{d} x\right) \)

Das Integral \( \int \mathrm{e}^{x} \sin (x) \mathrm{d} x \) taucht auf der rechten Seite der Gleichung wieder auf, wir können auflösen:

\( =\frac{\mathrm{e}^{x} \sin (x)-\mathrm{e}^{x} \cos (x)}{2} \)

Problem:

Wie genau komme ich jetzt von

\( =\mathrm{e}^{x} \sin (x)-\left(\mathrm{e}^{x} \cos (x)+\int \mathrm{e}^{x} \sin (x) \mathrm{d} x\right) \)

                                   auf

\( =\frac{\mathrm{e}^{x} \sin (x)-\mathrm{e}^{x} \cos (x)}{2} \)

Comments

https://www.integralrechner.de/

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das ganze kommt ja vom integralrechner, ich will einfach verstehen, warum das ganze so zusammengefassen werden kann und was die mathematischen schritte dazu sind

Answer 1

Problem:
Wie genau komme ich jetzt von
$$=\mathrm{e}^{x} \sin (x)-\left(\mathrm{e}^{x} \cos (x)+\int \mathrm{e}^{x} \sin (x) \mathrm{d} x\right) $$auf$$ =\frac{\mathrm{e}^{x} \sin (x)-\mathrm{e}^{x} \cos (x)}{2} ?$$

Du solltest das nicht als Termumformung betrachten, sondern als Gleichungsumformung:

$$\int \mathrm{e}^{x} \sin (x) \mathrm{d} x=\mathrm{e}^{x} \sin (x)-\left(\mathrm{e}^{x} \cos (x)+\int \mathrm{e}^{x} \sin (x) \mathrm{d} x\right)\\\dots\\ \int \mathrm{e}^{x} \sin (x) \mathrm{d} x=\frac{\mathrm{e}^{x} \sin (x)-\mathrm{e}^{x} \cos (x)}{2} $$

Answer 2

Indem Du auch mal die linke Seite anschaust und sie mit der rechten zusammenfasst.

Comments

ja das sit mir auch schon aufgefallen, aber es ist halt einfach ein integral? woher kommt das 1/2??

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Löse die Gleichung nach dem Integral auf (s. oben).