Unbestimmtes Integral mit partieller Integration

Question

Hallo ich hätte mal eine frage ich habe das ergebnis von meinen Lehrer raus aber ich komme nicht genau auf schritte wie es er berechnet hat  wäre echt lieb wenn mir jemand die schritte aufschreiben kann .

Integral (2*x+13)*e^{8*x}*dx

Ergebnis: (8*x+51)*e^{8*x}/32+C

Comments

Sagt der Lehrer, dass du das Integral mit partieller Integration bestimmen sollst(a) oder sagt der Lehrer, dass du das angegebene Resultat überprüfen sollst(b)? 

(a) Verwende die Formel, die du kennst. Leite 2x + 13 ab ---> 2 und integriere e^{8x} → 1/8 e^{8x} 

(b) Leite das angebliche Resultat  mit der Produkt- und der Kettenregel ab. 

---

ne schon a) ich soll das unbestimmt Integral berechnen und hierfür die partielle Integration verwenden.

Answer 1

Integral (2*x+13)*e^8*x*dx

also nach der Methode

∫ u*v ' = u*v -  ∫ u ' *v

mit u = 2x+13 hast du u ' = 2 und

    v ' = e^8*x  gibt v =  (1/8)*e^8*x  

also ist

Integral (2*x+13)*e^8*x*dx 

=  (2x+13) *(1/8)* e^8*x  -  Integral  2* (1/8) *e^8*x*dx

=  (2x+13) /8* e^8*x  -   (1/4)  Integral e^8*x*dx

=  (2x+13) /8* e^8*x  -   (1/4) *(1/8)* e^8*x  

Jetzt erst mal e^8x ausklammern gibt

(2x+13) /8  -   (1/32 )   ) * e^8*x  

= (8x+52) /32  -   (1/32 )   ) * e^8*x  

= (( 8x+52 - 1 ) /32 ) * e^8*x  

= (( 8x+51 ) /32 ) * e^8*x  

= (( 8x+51 ) * e^8*x   ) / 32

Das ist jedenfalls eine Stammfunktion, alle also durch

(( 8x+51 ) * e^8*x   ) / 32      + C

Comments

Okay vielen Dank. Wie kommt man bei dem ausklammern hier drauf?

(8x+52) /32  -   (1/32 )   ) * e^8*x

---

Man kommt ja zunächst auf

(2x+13) /8  -   (1/32 )   ) * e^8*x  

und dann den ersten Bruch mit 4 erweitern,

dass gleiche Nenner in der Klammer entstehen.