Unbestimmtes Integral mit Partieller-/Produktintegration

Question

Sehr geehrte Mathematikfreunde,

mich plagt gerade die Bestimmung eines unbestimmten Integrals, bzw. die Menge aller möglichen Stammfnk. mithilfe der Produktintegration.
Unten habe ich einen Scan meiner bisherigen Aufzeichnungen eingebunden. Ich beschreibe aber trotzdem mal kurz meine Vorgehensweise:

1. "x" habe ich auf die bereits abgeleitete Fnk. u' gesetzt, da mir die Stammfunktion des "arcusSinus" nicht direkt bekannt war, die Ableitung aber schon. Der arcSin ist somit v.
Von u' muss also die Stammfunktion und von v die Ableitung bestimmt werden.

2. Weiter mit dem Verfahren: Die Menge aller Stammfunktionen von "x * arcsin(x)" ist gleich "u mal v (u wurde integriert) minus dem Integral von u mal v' (v wurde abgeleitet)".

3. Im nächsten Schritt habe ich versucht den Radikanden im Nenner des 2. Faktors zu substituieren und dann mit einer speziellen, mir nicht ganz verständlichen Methode weiter zu verwursten (Das mit der dx Umstellung etc.).
Diese Methode ist mir aus einem Video von Daniel Jung bekannt: "https://www.youtube.com/watch?v=FAO1aFB1fmg"

4. Weiter habe ich nur noch etwas umgestellt und bin mir jetzt nicht mehr sicher, wie ich weiter verfahren soll. Das mit dem "1 durch ..." sieht etwas wie "ln" aus, ich weiß es aber nicht genau.

Würde mich freuen, wenn jemand helfen kann :)
Grüße

An1_Blatt13_Aufg.1.3.pdf (0,3 MB)

Answer 1

∫ x·ASIN(x) dx = 1/2·x^2·ASIN(x) + ∫ 1/2·x^2·1/√(1 - x^2) dx

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1/2 * ∫ x^2/√(1 - x^2) dx

Subst.
x = SIN(z)
1 dx = COS(z) dz

1/2 * ∫ SIN(z)^2 / √(1 - SIN(z)^2) * COS(z) dz

1/2 * ∫ SIN(z)^2 dz

1/2 * (z/2 - SIN(z)·COS(z)/2)

z/4 - SIN(z)·COS(z)/4 + C

Resubst.

ASIN(x)/4 - x·√(1 - x^2)/4

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∫ x·ASIN(x) dx = 1/2·x^2·ASIN(x) + ASIN(x)/4 - x·√(1 - x^2)/4