Aloha :)
Das Minimum der Funktionenschar$$f_n(x)\coloneqq\sin^n(x)\cdot e^{-2n\sin(x)}\quad;\quad x\in[0;1]\quad;\quad n\in\mathbb N$$ist stets \(f_n(0)=0\), denn für \(x\in[0;1]\) ist \(\sin(x)\ge0\) und die \(e\)-Funktion ist stets positiv.
Zur Bestimmung des Maxiums brauchen wir die Nullstellen der ersten Ableitung:$$f'_n(x)=\left(\underbrace{\sin^n(x)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-2n\sin(x)}}_{=v}\right)'$$$$\phantom{f'_n(x)}=\underbrace{n\sin^{n-1}(x)\cos(x)}_{=u'}\cdot\underbrace{e^{-2n\sin(x)}}_{=v}+\underbrace{\sin^n(x)}_{=u}\cdot\underbrace{\overbrace{e^{-2n\sin(x)}}^{\text{äußere A.}}\cdot\overbrace{(-2n\cos(x))}^{\text{innere A.}}}_{=v'}$$$$\phantom{f'_n(x)}=n\sin^{n-1}(x)\cos(x)\,e^{-2n\sin(x)}\left(1+\sin(x)\cdot(-2)\right)$$$$\phantom{f'_n(x)}=n\underbrace{\sin^{n-1}(x)}_{>0\text{ für }x\in(0;1]}\,\underbrace{\cos(x)}_{>0\text{ für }x\in[0;1]}\,\underbrace{e^{-2n\sin(x)}}_{>0}\left(1-2\sin(x)\right)$$
Die erste Ableitung wird nur \(0\), wenn die letzte Klammer \(0\) wird, also für \(\sin(x)=\frac12\) bzw. für \(x=\arcsin\left(\frac12\right)=\frac\pi6\in[0;1]\).
$$f_n\left(\frac\pi6\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot e^{-2n\cdot\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\cdot e^{-1}\right)^n=\frac{1}{(2e)^n}$$
Dieses Maximum konvergiert für \(n\to\infty\) gegen Null, sodass gilt:$$0\le f_n(x)\le\frac{1}{(2e)^n}\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=0$$
Damit ist das Integral klar:$$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_0^1f_n(x)\,dx=\int\limits_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)\,dx=0$$
