Bestimmen Sie die Mantelfläche der Kurve, die durch die Drehung um die x-Achse entsteht.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Mantelfläche der Kurve, die durch die Drehung um die x-Achse entsteht.

y² + 4x = 2*ln(y) mit y e [1,3]

Problem/Ansatz:

Bestimme die Integrationsgrenzen mit umstellen nach x -> x(1) = -1/4 ^ x(3) = - 1,7

Als Ansatz für die Mantelfläche habe ich M = 2π ∫ r(x) √1+r('(x))² dx

Mein Problem ist jetzt hier, das ich keinen Ansatz habe um die Funktion so umzustellen, dass sie von x abhängt.

Da ich bei y ja zwei Möglichkeiten im Bereich der komplexen Zahle erhalte. Gibt es eine Möglichkeit die Mantelfläche über die Abbildung x in Abhängigkeit von y zu bestimmen?

Vielen Dank schonmal.

Answer 1

Hier benötigst du die Formel für die Mantelfläche, wenn die Kurve in der Form

\(x=x(y)\)  mit \(y \in [a,b]\) - hier \(y \in [1,3]\) -

gegeben ist:

\(M= 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2}dy\)

Dazu löst du die gegebene Gleichung der Kurve nach x auf:

\(x=\frac 12 \ln y - \frac 14 y^2\)

\(\Rightarrow \frac{dx}{dy}= \frac 1{2y} - \frac 12 y= \frac 12\left( \frac 1y - y \right) \)

Etwas rechnen gibt

\(\sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} = \frac 1{2y}(1+y^2) \Rightarrow\)

\(M = 2\pi \int_1^3 y\cdot \frac 1{2y}(1+y^2)dy = \pi\int_1^3 (1+y^2)dy = \frac{32\pi}3 \approx 33.5\)

Comments

Danke, hat mir sehr geholfen