Mantelfläche eines Rotationskörpers mit Hilfe der Simpson-Regel

Question

Aufgabe:

Ein außergewöhnliches Hochhaus in einer großen Metropole hat die Form eines Hyperboloids. Für die Ermittlung der Kosten der Fassade wird die Mantelfläche des Gebäudes benötigt. Die hyperbolische Form des Hochhauses ergibt sich durch Rotation einer Hyperbel mit den Parametern \( \mathrm{a}=36 \mathrm{~m}, \mathrm{~g}=58 \mathrm{~m} \) und \( \mathrm{H}=180 \mathrm{~m} \) um die \( \mathrm{y} \)-Achse (s. nebenstehende Skizze).


Berechnen Sie die Mantelfläche des entstandenen Rotationskörpers mit Hilfe der Simpson-Regel mit einer Schrittweite \( h=22,5 \mathrm{~m} \). Ein Verbesserungsschritt soll nicht durchgeführt werden.

Problem/Ansatz:

Habe für die angegebene Funktion y=90, x=58, a= 36 eingesetzt und nach b= 71,15 umgestellt. Jetzt habe ich die Zielfunktion Y²= -72,15-2x²  aufgestellt, aus den Negativen kann ich allerdings nicht die Wurzel ziehen. Ich weiß leider nicht wo mein Fehler liegt und wie ich die Simpson-Regel anschließend richtig verwende.

Text erkannt:

11.5.2 Simpson-Regel
\( I_{S_{h}}=\frac{h}{3} \cdot\left(y_{0}+4 \cdot y_{1}+2 \cdot y_{2}+4 \cdot y_{3}+2 \cdot y_{4}+\ldots+2 \cdot y_{n-2}+4 \cdot y_{n-1}+y_{n}\right) \)
mit Schrittweite \( h=\frac{b-a}{n} \) und \( \mathrm{n} \) : eine gerade Zahl Verbesserungsschritt: \( I_{S_{V e r b}}=I_{S_{h}}+\frac{1}{15} \cdot\left(I_{S_{h}}-I_{S_{2 h}}\right) \)

Comments

Woher hast Duvden Term -2x?

Wie / mit welcher Formel willst Du die Mantelfläche berechnen?

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-2x haben sich ergeben nach Umstellung auf y. Berechnen wollte ich die Mantelfläche mit der Formel für Rotationskörper

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Ich sehe da

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \Rightarrow y^2=b^2(\frac{x^2}{a^2}-1)$$

also ein positives Vorzeichen bei x - wenn Du diese Umformung meintest.

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Es handelt sich offensichtlich um das Tornado-Gebäude in Doha, Katar.

Der Architekt dort bestreitet, sich dabei vom Design einer gewissen Tochter, die sich schon in jungen Jahren mit 3D-Druck beschäftigte, inspiriert gelassen zu haben.

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Da hat sich ein Fehler eingeschlichen, ich muss natürlich auch nach X umstellen, da die Funktion um Y rotiert. Für X habe ich jetzt die Funktion X= (36²+0,255y²)^0,5. Jetzt weiß ich leider nur immer noch nicht genau wie ich die Simpson-Regel darauf anwenden.

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Du musst als nächstes eine Formel für die Mantelfläche aufstellen. Diese besteht aus einem Integral. Dieses Integral sollst Du dann näherungsweise durch die Simpsonregel berechnen. So verstehe ich jedenfalls die Aufgabe.

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So habe ich es auch verstanden, Die Formel für die Mantelfläche bekomme ich leider nicht hin.

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Das Gleichungssystem

\(\displaystyle \frac{58^{2}}{a^{2}}-\frac{90^{2}}{b^{2}}=1 \\\\ \frac{36^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}}=1  \)

ergibt als Lösung eine Linie für die obere Hälfte der Fassade

\(\displaystyle y= \frac{1620}{\sqrt{517}} \cdot \sqrt{\frac{x^2}{36^2}-1} \)

bzw.

\(\displaystyle x=\frac{1}{45} \sqrt{517 y^{2}+2624400} \)

Mantelfläche für die obere Fassadenhälfte nach den guldinschen Regeln:

\( \displaystyle \frac{1}{2} M = 2 \pi \cdot \underbrace{\int\limits_{0}^{90} \dots \; dy}_{\normalsize S^{(4)}} \)

wobei ich mit S^{(4)} meine, dass man mit der Simpson-Regel die 90 m in vier Intervalle aufteilt, und die drei Punkte stehen für

\(\displaystyle \frac{1}{45} \sqrt{517 y^{2}+2624400} \cdot \sqrt{1+\left(\frac{517 y}{45 \cdot \sqrt{517 y^2+2624400}} \right)^2} \)

\(\displaystyle = \frac{\sqrt{5314410000+1314214 y^{2}}}{2025} \)

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Sollte hier nicht für y=0 a=36 herauskommen?

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@bauing

Die Formel findest Du z.B. in Wikipedia unter dem Stichwort "Mantelfläche", dort der allgemeine Fall einer Rotationsfläche...

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@Mathhilf: Nicht a = 36 sondern x = 36. Und das tut es ja auch.

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Ja, ich habe wohl die 7stellige Zahl falsch eingetippt.

Answer 1

Mit Simpson:

S⁽⁴⁾ = 4120,07...

M = 2 · 2 π 4120,07... ≈ 51774 m²

ohne Simpson:

M ≈ 51774 m²

Comments

Anwendung der Simpson-Regel bei dieser Aufgabe:

\( y_{i} \)	\( \frac{22,5}{6} \cdot\left(f\left(y_{i}\right)+4 \cdot f\left(\frac{y_{i}+y_{i+1}}{2}\right)+f\left(y_{i+1}\right)\right) \)
0	826,58667...
22,5	919,92563...
45	1083,20272...
67,5	1290,35450...
Total S(4)	≈ 4120,07

Integral ohne Simpson:


\(\displaystyle \int \frac{\sqrt{5314410000+1314214 y^{2}}}{2025} \; d y \)

\(\footnotesize = \frac{y \sqrt{1314214 y^{2}+5314410000}}{4050} \\\\ -328050 \sqrt{\frac{2}{657107}}\left(2 \; \ell n \left(\sqrt{657107 y^{2}+2657205000}-\sqrt{657107} \, y\right)+\ell n (2)\right) \\\\ + const.\)

\(\displaystyle M = 2\cdot 2 \pi \int\limits_{0}^{90} \frac{\sqrt{5314410000+1314214 y^{2}}}{2025} \; d y \)

\(= 2\cdot 2 \pi (-8696,22557... - (-12816,29848...)) \\\\ \approx 51774 \)