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Aufgabe: Funktion aufstellen


Problem/Ansatz:Moodle-Nutzung. Die Plattform Moodle dient in einer Schule zum Datenaustausch. Seit ihrem Start wurde folgendes Nutzerverhalten beobachtet: Anfangs stieg die Anzahl der Benutzer bei Null beginnend linear, bis sie nach 120 Stunden ihr Maximum von 420 Nutzern erreichte. Danach fiel die Benutzerzahl exponentiell asymptotisch gegen Null, wobei 800 Stunden nach Freigabe der Plattform nur mehr 1
Nutzer vorhanden war.
(a) Geben Sie die Benutzerzahl B im Zeitraum (0h: 800h) als (stückweise definierte) Funktion der Zeit t (in Stunden) an. [2P]
(b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion B. [2P]
(c) Für die Anzahl L der Logins an einer anderen Schule gilt
L(t) = 2000 - e- 0,3 t
t ... Zeit in Tagen seit Beobachtungsbeginn (t = 0). L(t) ... Anzahl der Logins am Tag t.
(1) Berechnen Sie die Halbwertszeit von L. (1P1
(2) Berechnen Sie die durchschnittliche tägliche Anzahl der Logins während der ersten zwei
Wochen. [1PJ

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a) lineare Phase:

y= mx+b

f(0)= 0

f(120) = 420

m= (420-0)/(120-0) = 420/120 = 7/2 = 3,5

0= 3,5*0+b

b= 0

y= 3,5x

exponentielle Phase:

g(x)= 420*ax

g(800) = 1

a bestimmen:

420*a^(800-120) = 1

a680 = 1/420

a = (1/420)^(1/680) = 0,991157

g(x) = 420*0,991157x


Integral f(x) von 0 bis 120 + Integral g(x) von 120 bis 800

[3,5/2*x2]von 0 bis 120  + [420*0,991157x/ln0,991157] von120 bis 800


c) 2000-e^(-0,3t) = 1000

e^(-0,3t) = 1000

0,3t = ln 1000

t = ln1000/0,3 = 23,06 Tage

2) Integral L(t) von 0 bis 14, Ergebnis durch 14 teilen

[2000t+e^(-0,3)/ln0,3]von 0 bis 14

= 27996.7/ 14 = 2000 (gerundet)

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Sicher, dass das stimmt? Ich habe das mit Freunden verglichen und es kommt was ganz anderes raus, zB t=2,… Tage

Wie habt ihr wo gerechnet?

exponentielle Phase:
g(x)= 420*ax

Die exponentielle Phase beginnt bei t=120ht=120\,\text{h} und nicht bei 00.

Das habe ich doch berücksichtigt bei den Teilintegralen.

[3,5/2*x2]von 0 bis 120  + [420*0,991157x/ln0,991157] von120 bis 800

Ich habe das wohl bei wolfram übersehen.

https://www.wolframalpha.com/input?i=integral+3.5x+from+0+to+120+plu…

Dann käme raus:

41447.3/14 = 2961

Stimmt das?

Stimmt das?

Ich vermute nein. Ich weiß auch gar nicht zu welchem Aufgabenteil Deine Integralrechnung gehören soll. bei (a) und (b) ist es nicht gefordert und bei (c) ist eine andere Funktion gegeben.


Btw.:

(c) Für die Anzahl L der Logins an einer anderen Schule gilt
L(t) = 2000 - e- 0,3 t

falls diese Funktion L(t)=2000e0,3tL(t)= 2000 - e^{-0,3t} lauten soll, bezweifle ich, dass es richtig abgeschrieben wurde. Der Term e0,3te^{-0,3t} nimmt für t>0t>0 nur Werte zwischen 00 und 11 an. Also läuft LL von 20002000 bis bestenfalls 19991999.

... und hier

e^(-0,3t) = 1000
0,3t = ln 1000

wurde schlicht das Minuszeichen vergessen.

Könntest du mir bitte die gesamte Aufgabe  noch mal berechnen? Mich hat die Antwort ggT22 verwirrt

Könntest du mir bitte die gesamte Aufgabe noch mal berechnen?

Könntest Du vorher nochmal die Funktion L(t)L(t) posten ...

Sorry ich habe das falsch kopiert. So ist es richtig:

L= 2000*e^(-3t)

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Hallo Niklas,

zu (a) Die Funktion (linear Funktion) von 0 bis 120h sollte Dir kein Problem machenf1(t)=420120t0t<120f_1(t) = \frac{420}{120} t \quad 0 \le t \lt 120was man natürlich noch zu 72t\frac{7}{2}t zusammen kürzen kann (und sollte), aber ich lasse es mal so stehen, dann wird klarer wie das zustande kommt. Wenn man für tt 120 (Stunden) einsetzt, so ist das Ergebnis 420 (Nutzer).

Danach fiel die Benutzerzahl exponentiell asymptotisch gegen Null,

Für die Exponentialfunktion kannst Du eine beliebige Basis wählen. Man wählt aber oft die Eulersche Zahl ee, weil das Vorteile hat, wie Du hoffentlich gleich sehen wirst. Ganz allgemein sieht das so aus:f2(t)=a0et/Tf_2(t) = a_0 e^{{-t}/{T}}a0a_0 ist der Wert der Funktion zum Zeitpunkt t=0t=0 - also hier die 420. Das Minuszeichen zeigt an, dass es sich um eine abfallende Exponentialfunktion handelt. Umso größer tt wird, desto kleiner wird der Exponent und desto kleiner der Funktionswert. Das TT ist die sogenannte Zeitkonstante, die ist zunächst unbekannt.

Und weiter ist hier zu beachten, dass wir nicht bei t=0t=0 sondern bei t=120t=120 mit der Exponentialfunktion anfangen. Also muss man schreibenf2(t)=420e(t120)/T120<tf_2(t) = 420 e^{{(t-120)}/{T}} \quad 120 \lt tTT berechnet sich aus der Bedingung, dass nach 800 Stunden nur noch 1 Nutzer übrig bleiben soll - also f2(800)=1f_2(800) = 1f2(800)=1420e(800120)/T=1÷420e680/T=1420ln680T=ln(1420)1420=4201680T=ln(420)(T)÷ln(420)    T=680ln(420)113\begin{aligned} f_2(800) &= 1 \\ 420 e^{{-(800-120)}/{T}} &= 1 &&\left|\, \div 420\right.\\ e^{{-680}/{T}} &= \frac{1}{420} &&\left| \,\ln\right.\\ -\frac{680}{T} &= \ln\left(\frac{1}{420}\right) &&\left|\, \frac{1}{420} = 420^{-1}\right.\\ -\frac{680}{T} &= -\ln\left(420\right) &&\left|\, \cdot (-T) \div \ln(420)\right.\\ \implies T &= \frac{680}{\ln(420)} \approx 113\end{aligned}Beachte bitte, da die 680 für 680 Stunden steht, bedeutet die 113 auch 113 Stunden. Und vielleicht ist Dir auch aufgefallen, dass man sich durch die Verwendung der Basis ee mit dem ln\ln leichter tut.

Folglich lautet die abschnittweise definierte Funktion fff(t)={420120t0t<120420e(t120)/113120tf(t) = \begin{cases} \frac{420}{120}t & 0 \le t \lt 120\\ 420 e^{{(t-120)}/{113}} & 120 \le t\end{cases}

zu (b) in Desmos gegossen:


Oben siehst Du den Graphen von ff (rot). Weiter habe ich Dir noch eine grün gestrichelte Gerade eingezeichnet, die die Linearisierung der Exponentialfunktion im Startpunkt bei t=120t=120 darstellt. D.h. Im Punkt (120,420)(120,\,420) haben die Exponentialfunktion und die grüne Gerade die selbe Steigung. Diese Gerade schneidet die X-Achse bei T=113T=113 hinter dem Startpunkt von f2f_2 bei t=120t=120. Dafür habe ich die lila Strecke eingezeichnet.

D.h. Wenn man diese Exponentialfunktion zeichnen möchte, so zeichnet man zunächst diese grüne Gerade, von der man ja den Schnittpunkt mit der X-Achse kennt, und dann lässt man die Funktion asymptotisch gegen 0 auslaufen.


zu (c) Anzahl der Logins pro Tag an einer anderen Schule L(t)=2000e3tL(t) = 2000 e^{-3t}mit tt in Tagen.

Gefragt ist nach der Halbwertszeit - also der Zeit tHt_H, für die gilt L(tH)=12L(0)2000e3tH=122000÷2000e3tH=12ln3tH=ln(12)(1)3tH=ln(2)÷3tH=ln(2)30,2310\begin{aligned}L(t_H) &= \frac{1}{2}L(0) \\ 2000 e^{-3t_H} &= \frac{1}{2} \cdot 2000 &&|\, \div 2000 \\ e^{-3t_H} &= \frac{1}{2} &&|\, \ln \\ -3t_H &= \ln\left(\frac{1}{2}\right) &&|\,\cdot (-1)\\ 3t_H &= \ln(2) &&|\,\div 3 \\ t_H &= \frac{\ln(2)}{3} \approx 0,2310\end{aligned}Das entspricht etwa tH5,5ht_H \approx 5,5\,\text{h}.

Für die durchschnittliche Anzahl L14L_{\emptyset 14} in den ersten zwei Wochen (14 Tagen) giltL14=114014L(t)dt=1140142000e3tdt=200014[13e3t]014=10007[13e314(13e0)]=100021(1e42)47,6\begin{aligned}L_{\emptyset 14} &= \frac{1}{14} \int\limits_{0}^{14} L(t)\, \text{d}t \\ &= \frac{1}{14} \int\limits_{0}^{14} 2000 e^{-3t}\, \text{d}t \\ &= \frac{2000}{14} \left[-\frac{1}{3} e^{-3t}\right]_{0}^{14} \\ &=\frac{1000}{7} \left[-\frac{1}{3}e^{-3 \cdot 14} - \left(-\frac{1}{3} e^{0} \right)\right] \\ &= \frac{1000}{21}\left(1 - e^{-42}\right) \approx 47,6\end{aligned}also bleiben nur knapp 48 Logins pro Tag übrig.

Gruß Werner

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Bem.: Sollte LL doch so lauten:L(t)=2000e0,3tL(t) = 2000\, e^{-{\color{red}0,3}t}dann sind tHt_H und die Anzahl der Logins jeweils genau 10-mal so groß.

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