Komplexe Menge bestimmen bzw. skizzieren

Question

Aufgabe:

Stellen Sie die Menge aller komplexen Zahlen z, welche die folgenden Gleichungen erfüllen, graphisch
dar:

2≤|4z|≤8

Problem/Ansatz:

Ich denke, dass die graphische Darstellung wohl einem Ring entspricht, allerdings bin ich noch unsicher, wie man von |4z| auf den Kreismittelpunkt kommt - Bzw. welche Auswirkung der Faktor 4 hat. Wenn ich 4z unbestimmt setze und den Betrag auflöse, komme ich auf folgendes Ergebnis:

|4z| = |4(x+iy)| = |4x+4iy| = sq.(16x^2+16y^2) = 4x+4y

Allerdings, steh ich auf dem Schlauch und komme nicht weiter...

Answer 1

Hallo

mit dem Ring hast du recht. da |4z|=4|z| kannst du die Ungleichung einfach durch 4 kürzen  und hast dann 2 einfache Kreise um 0

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$2\le|4z|\le8\implies\frac12\le|z|\le2$$Das aind alle Kreise mit einem Radius von \(\frac12\) bis \(2\).

Wenn du das nicht sofort siehst, setze \(\,z=x+iy\,\), dann ist$$|z|=\sqrt{\mathrm{Re}(z)^2+\mathrm{Im}(z)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\implies\frac12\le\sqrt{x^2+y^2}\le2$$