Mantelfläche von y = Wurzel(x). Rotation um die x-Achse.

Question

Gesucht ist die Mantelfläche desjenigen Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Graph um die x-Achse rotiert.

\( f(x)=\sqrt{x} \quad f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \)

Wie macht man das am besten mit Quadrieren und Wurzel?

Answer 1

Du brauchst ein Integral der Art  2pi * Integral über f(x) * wurzel ( 1 + f ' (x) ^2 ) dx

f(x) * wurzel ( 1 + f ' (x) ^2 ) =  wurzel(x) * wurzel ( 1 +   ( 1/2*wurzel(x) )^2  ) 

                                                = wurzel (     x * ( 1 + 1/4x   )

                                                = wurzel ( x + 1/4 ) 

Stammfunktion dazu ist 1/12  *  ( 4x+1) ^3/2

Comments

x+1/4 = 4x+1 wie hast du das umgeschrieben? welche regel ist das

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und kommt vor der klammer nicht 1/6 hin statt 1/12

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x+1/4 = 4x+1 wie hast du das umgeschrieben? welche regel ist das

Es war ja              wurzel ( x + 1/4 )

Da ist eine Stammfkt  (2/3) *   (x+1/4) ^3/2 

Hätte ja so stehen bleiben können, aber

mein Rechner hat das noch was umgeformt:

=   (2/3) *  ((1/4) *(4x+1)) ^3/2  

=    (2/3) * (1/ 4) ^3/2 (4x+1) ^3/2     

=    (2/3) * (1/ 8)  (4x+1) ^3/2     

= ( 1/12) * (4x+1) ^3/2     

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also ist es im endefekt egal wie man das schreibt? wenn man jetzt für x was einsetzt kommen aber verschiedene sachen raus?

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Bei mir nicht, kommt immer das gleiche raus.

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was kommt bei dir raus wenn du x=3 einsetzt?

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(13/12) * wurezl(13) ungefähr 3,906

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ja ok danke hatte nen zahlendreher drin ^^

Answer 2

∫ √(1 + (1/(2·√x))^2) dx

= - LN(√((4·x + 1)/x) - 2)/8 + LN(√((4·x + 1)/x) + 2)/8 + x·√((4·x + 1)/x)/2