LGS: Lösung von L durch L'+c?

Question

Sei L ein lineares Gleichungssystem mit Lösung c und sei L' das zugehörige homogene LGS. Zeige, dass man die Lösungen von L durch die Lösungen von L' erhält, indem man c zu den Lösungen von L' addiert.

Answer 1

Ist \(c\) eine Lösung von \(L:\; A\cdot c=b\), dann gilt

für jede Lösung \(x\) von \(L':\; A\cdot x=0\):

\(A\cdot (x+c)=A\cdot x+A\cdot c=0+b=b\), d.h.

\(x+c\) ist Lösung von \(L'\) für jede Lösung \(x\) von \(L\).

Ist umgekehrt \(u\) eine Lösung von \(L\), dann ist

\(A\cdot(u-c)=A\cdot u-A\cdot c=b-b=0\),

also ist \(u-c\) eine Lösung von \(L'\) für jede

Lösung \(u\) von \(L\).