Lösung eines LGS "erraten" (spezielle und homogene Lösungen)

Question

ich komme hier einfach nicht weiter, ich will diese Aufgabe aber unbedingt verstehen...
Das folgende LGS ist gegeben:

3x1 + 5x2 + 3x3 = 0
−2x1 + 3x3 = 0
8x1 + 10x2 + 3x3 = 0

Teilaufgabe 1, mit Hilfe des Gaußalgorithmus alle Lösungen zu bestimmen, habe ich geschafft.

Jetzt kommt Teilaufgabe 2: Erraten Sie nun eine naheliegende Lösung des Systems zu der rechten Seite b = (11, 1, 21) (transponiert) und geben Sie ohne noch einmal den Gaußalgorithmus durchzuführen alle “speziellen Lösungen” für diese rechte Seite an. Begründen Sie Ihr Ergebnis.

Ich habe die Lösung zwar mehr oder weniger schon bekommen, aber ich werde daraus nicht schlau:

Eine sehr naheliegende Lösung bei Betrachtung des Gleichungssystems ist die spezielle Lösung xs = (1, 1, 1) (transponiert).
Ist für ein Gleichungssystem \(Ax = b\) eine allgemeine homogene Lösung bekannt, also alle Lösungen \(x_h\) für die \(Ax_h = 0\) gilt, und eine spezielle Lösung \(x_s\) mit \(Ax_s = b\) für die rechte Seite \(b\), so lässt sich die allgemeine spezielle Lösung schreiben als \(x_{as} = x_h + x_s\). Dies lässt sich rechnerisch schnell überprüfen, es gilt:
\(Ax_{as} = A(x_h + x_s) = Ax_h + Ax_s = 0 + b = b\)
In diesem Fall ist also die allgemeine spezielle Lösung gegeben durch

\(x_{as} = x_h + x_s = (3/2, -3/2, 1)^T \cdot s\) (Lösung Teilaufgabe 1) \(+ (1, 1, 1)^T\) mit \(s\) Element der reellen Zahlen.

Könnt ihr mir hier vielleicht weiterhelfen? Kann mir das jemand in deutsch erklären? :D Das wäre super! :)

Answer 1

Wo hakt es denn ?  Dass (1;1;1) eine Lösung ist, kannst du

einfach durch Einsetzen prüfen.

Und dann kannst du ja mal ein paar konkrete Werte für s einsetzen,

etwa s=2 . Da entsteht die Lösung

(3/2, -3/2, 1) * 2  + (1, 1, 1)  = (4 ; -2 ; 3 )

und wenn du die in dein Gleichungssystem einsetzt, siehst du:

Es stimmt !

und wenn du es allgemein mit s machst, setze ein

( 3/2 * s + 1 ; -3/2 * s + 1 ; 1*s + 1 )

und siehst wieder: Das s hebt sich weg, die Lösung stimmt.

Comments

Hey danke schonmal! :)

Es fängt eigentlich schon allein da an, dass ich die Aufgabenstellung immer noch nicht so ganz verstanden habe und deswegen auch keinen Schimmer habe, wie ich an das Problem überhaupt herangehen soll.

Was sagt mir denn das Ergebnis (4, -2, 3)? Das ist ja kein "Vektor", der davor schon mal herauskam, oder? Weshalb das übereinstimmen würde mit etwas und ich wüsste, dass es stimmt?

Geht es nicht darum, dass man eine Lösung erraten soll, damit (11, 1, 21) herauskommt?

Tut mir leid, für die Verwirrung. Sitze hier schon ewig dran und komme einfach nicht weiter...

:)

Answer 2

Es fängt eigentlich schon allein da an, dass ich die Aufgabenstellung immer noch nicht so ganz verstanden habe und deswegen auch keinen Schimmer habe, wie ich an das Problem überhaupt herangehen soll.

dann will ich es mal versuchen.

Teilaufgabe 1, mit Hilfe des Gaußalgorithmus alle Lösungen zu bestimmen, habe ich geschafft.

Ok - dann hast Du die Lösung für \(x\) gefunden: $$x = \begin{pmatrix} 3\\ -3 \\ 2\end{pmatrix}t \quad t \in \mathbb{R}$$

Wenn man nun noch das Gleichungssystem als Matrizengleichung formatiert$$\begin{pmatrix} 3& 5& 3\\ −2& 0& 3\\ 8& 10& 3 \end{pmatrix} \cdot x = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$$dann sieht das in Kurzform so aus:$$A \cdot x = \vec{0} \quad (1)$$

Jetzt kommt Teilaufgabe 2: Erraten Sie nun eine naheliegende Lösung des Systems zu der rechten Seite b = (11, 1, 21) (transponiert) und geben Sie ohne noch einmal den Gaußalgorithmus durchzuführen alle “speziellen Lösungen” für diese rechte Seite an.

D.h. es stellt sich die Frage was das \(y\) in $$A \cdot y = \begin{pmatrix} 11\\ 1 \\ 21 \end{pmatrix} \quad (2)$$ist. Genau danach ist in Teilaufgabe 2 gefragt.

Dafür beginne ich mit der offensichtlichen Lösung \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\end{pmatrix}^T\) und die forme ich noch mal um, indem ich den Null-Vektor \(\vec{0}\) addiere:$$\begin{aligned} A \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} 11\\ 1 \\ 21 \end{pmatrix} \\ A \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{0} & = \begin{pmatrix} 11\\ 1 \\ 21 \end{pmatrix} + \vec{0} && \left| \vec{0} = A \cdot x \quad \text{s.}(1) \right.\\ A \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + A \cdot x & = \begin{pmatrix} 11\\ 1 \\ 21 \end{pmatrix} + \vec{0} \\ A \cdot \left( \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +  x \right) & = \begin{pmatrix} 11\\ 1 \\ 21 \end{pmatrix} \end{aligned}$$und daraus folgt dann unmittelbar durch den Vergleich mit Gleichung (2):$$ y = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +  x  = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +  \begin{pmatrix} 3\\ -3 \\ 2\end{pmatrix}t \quad t \in \mathbb{R}$$Und für \(t=1\) erhält man dann auch die Lösung \(\begin{pmatrix} 4 & -2 & 3\end{pmatrix}^T\).

Gruß Werner