sei \( M \) die Matrix, die das LGS \( Mx = b \) mit der Inhomogenität \( b \) erfüllt. \( v \) ist gemäß Vorausetzung der Vektor, der \( Mv = b \) erfüllt, \( u \) erfüllt entsprechend \( Mu = 0 \).
Ist \( v + u \) die Summe dieser beiden Lösungen ihrer Systeme, so gilt
\( M(v + u) = Mv + Mu = b + 0 = b\).
Die Addition von u zu v ist also ebenso eine Lösung des inhomogenen LGS \( Mx = b \).
Dies gilt für die Addition beliebig vieler Lösungen \( u_a \), \( u_b \), ... des homogenen LGS:
\( M(v + u_a + u_b + ...) = Mv + Mu_a + Mu_b + ... = b + 0 + 0 + ... = b\).
Ausgenutzt wurde hierbei das Distributivgesetz für die Linksmultiplikation einer Matrix an einen Vektor.
MfG
Mister
