Die Abbildungen re und li bilden von G → G ab. | Sind re und li immer Gruppenhomomorphismen?

Question

Sei (G, ο) eine Gruppe und sei a ∈ G fest. Seien li und re Abbildungen, für alle g ∈  G sei g^re := g ο a und g^li := a^-1 ο g.

Zeigen Sie:

a) Die Abbildungen re und li bilden von G → G ab.

b) Sind re und li immer Gruppenhomomorphismen?

Answer 1

Sei (G, ο) eine Gruppe und sei a ∈ G fest und für alle g ∈  G sei g^re := g ο a

Die Abbildungen re und li bilden von G → G ab.

Das heißt ( z.B. für re) doch nur:

Für jedes g ∈  G gilt  g^(re) ∈  G.

Wegen g^(re) =g o a und der Tatsache, dass G eine Gruppe ist,

ist das klar wegen der Abgeschlossenheit von G.

Ist vielleicht sogar:  "g^(re) ist surjektiv" gemeint ?

Das stimmt auch; denn sei  y ∈ G dann gibt es ein x ∈ G

mit        x^(re) = y

<=>     x o a=y    von rechts mit a^(-1) verknüpft

<=>  x  = y o a^(-1).

Homomorphismus würde ja heißen

 (x o y)^(re) = x^(re) o y^(re)

also ( x o y) o a =  ( x o a ) o ( y o a)

und das gilt offenbar nicht in jeder Gruppe.