Aufgabe:
1.)
Welche der folgenden Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen? Ihre Aussagen sind zu begründen.
a) f1 : ℤ→ ℤ, f1(z) = z3
b) f2 : ℤ→ R\{0}, f2(z) = 2z
c) f3 : ℤ/6Z → (Z/7Z)\{[0]7}, f3([z]6) = [3z]7
d) f4 : ℝ\{0} → ℝ\{0}, f4(z) = 2 · |z|
d) f5 : ℝ\{0} → ℝ\{0}, f5(z) = z3
Dabei haben ℤ und ℤ/6ℤ = {[0]6, ..., [5]6} eine additive und (ℤ/7ℤ)\{[0]} = {[1]7, ..., [6]7} sowie
ℝ\{0} eine multiplikative Verknüpfung
1.1)
Zeigen Sie, dass das kartesische Produkt G × H zweier Gruppen (G, ·) und (H, ◦) mit der „elementweisen Verknüpfung“
(g, h)◦·(g0, h0) := (g · g0, h ◦ h0)
wieder eine Gruppe ist. Zeigen Sie ferner, dass es sich bei den Projektionen
(G, ·) ← (G × H, ◦·) → (H, ◦)
um Homomorphismen handelt
Problem/Ansatz:
Wenn das jmd. darstellen könnte wie das gelöst wird, weil ich mit dem Thema noch nicht so vertraut bin wäre toll.
